概率论与数理统计测试题及答案

概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________.2．设A，B是两事件，()1/4,(|)1/3PAPBA，则()PAB__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X的分布函数为0,1()ln,11,xFxxxexe，则X的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,XXX是其一个样本，则123{max(,,)1/2}PXXX__________.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A与B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则()正确.（A）AB与互不相容;（B）()()()PABPAPB;（C）()()()PABPAPB;（D）()().PABPA2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p，q，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是()（A）1pq；(B)1pq；(C)1pqpq；(D)(1)(1)pq.3．设~(),Xtn则2X服从()分布(A)2()n；（B）(1,)Fn；（C）(,1)Fn；（D）(1,1)Fn.4．设随机变量X与Y的协方差(,)0,CovXY则下列结论正确的是()(A)X与Y独立；（B）()()()DXYDXDY;（C）()()()DXYDXDY；(D)()()()DXYDXDY5.设12,,,nXXX为来自正态总体2(,)N的一个样本，2211,(())1niiXSXXn分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是()(A)2~(,);XNn(B)22();ES(C)22();1nESn(D)222(1)/~(1).nSn三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率.2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3．（12分）设连续型随机变量X的概率密度为sin,0()0,axxfx，其它求：（1）系数a;(2)分布函数();(3){/4/2}FxPX.4．（8分）设二维随机变量(,)XY的分布律为求X与Y的协方差Cov（X，Y）及P{X+Y1}.5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为6,01(,)0,yyxfxy其它（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X的概率密度为(1),01(;)0,xxfx其它，其中(1)是未知参数，12,,,nXXX是X的样本，求参数的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1．（5分）设随机变量X～N（0，1），证明随机变量(0)YX～2(,)N.2．（5分）设4321,,,XXXX是来自总体N(,2)的样本，证明2212342()()2XXXXY服从2分布，并写出自由度.一、填空题(每小题3分，共15分)1．2/9；2．1/12；3．1/2；4．1/,1()0,xxefx其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D）2．(C)；3．（B）；4．（B）；5.(C).三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解：123,,AAA分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B表示取出的产品为YX01010.30.20.40.1废品，P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2，P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.3………3分(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)………5分=0.50.1+0.30.2+0.20.3=0.17………7分(2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717PAPBAPABPB………10分2．（10分）解：(1)X～b(3，0.1)，33{}0.10.9(0,1,2,3)kkkPXkCk………3分X0123p0.7290.2430.0270.001………7分(2)P{X1}=1－P{X=0}=0.271………10分3．（12分）解：（1）01sin1;2axdxa………3分（2）()()xFxftdt………6分00,01sin,02xxtdtxx1,0,01cos,02xxxx1,………10分2412(3){/4/2}sin.24PXxdx………12分4．（8分）解：E（X）＝0.5，E（Y）＝0.3，E（XY）＝0.1………4分Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝－0.05………6分P{X+Y1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7………8分5．（10分）解：（1）()(,)Xfxfxydy06,010,xydyx其它23,010,xx其它………4分()(,)Yfyfxydx16,010,yydxy其它6(1),010,yyy其它………8分（2）X与Y不相互独立，因为(,)()()XYfxyfxfy………10分6．（10分）解（1）矩估计量1101()(1)2EXxxdx………3分1112112ˆ1XX………5分(2)最大似然估计量对于给定样本值12,,,,nxxx似然函数为11()(;)(1)nniiiiLfxx12(1)(),01nnixxxx………7分1()ln(1)lnniilnLnx，1()ln01niidnlnLxd………8分11lnˆlnniiniinxx，最大似然估计量为11lnˆlnniiniinXX………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明：X的概率密度为221(),2xXfxe………1分函数,0,(,)yxyy，1(),(),yxhyhy………3分22()221()[()]|()|~(,).2yuYXfyfhyhyeYN………5分2．证明：21212~(0,2)~(0,1),2XXXXNN同理34~(0,1),2XXN………2分两者独立………4分因此22212342()()~(2)2XXXXY………5分