概率论与数理统计浙大四版习题答案第一章

第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）nnnnoS1001,，n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一]2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：CBA或A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：CAB或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC（5）A，B，C都不发生，表示为：CBA或S－(A+B+C)或CBA（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于CACBBA,,中至少有一个发生。故表示为：CACBBA。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：CBA,,中至少有一个发生。故表示为：ABCCBA或（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.[三]设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.31与P(A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)(*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。7.[四]设A，B，C是三事件，且0)()(,41)()()(BCPABPCPBPAP，81)(ACP.求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)=85081438.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”∵从26个任选两个来排列，排法有226A种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个∴1301155)(226AAP9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）记A表“后四个数全不同”∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有410A∴504.010)(4410AAP10.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A∵10人中任选3人为一组：选法有310种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有251∴121310251)(AP（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有310种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有241种201310241)(BP11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有917C种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有2334410CCC故2431252)(6172334410CCCCAP12.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A∵在1500个产品中任取200个，取法有2001500种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有110110090400种∴2001500110110090400)(AP（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有2001100种，200个产品含一个次品，取法有19911001400种∵10BBA且B0，B1互不相容。∴200150019911001400200150020011001)]()([1)(1)(10BPBPAPAP13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”∵从10只中任取4只，取法有410种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有424521132181)(1)(2182)(410445APAPCCAP15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)1664234)(31AP对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有3423C种。(从3个球中选2个球，选法有23C，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。169434)(3232CAP对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)16144)(33AP16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E：铆法有323344347350CCCC种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔32334434733CCCC〕×10种00051.01960110][)(32334735032334434733CCCCCCCAP法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有350A种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。这种铆法有27473327473327473327473310AAAAAAAA种00051.01960110)(3050274733AAAAP17.[十三]已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(BABPBAPBPAP求。解一：BAABBBAASABPBPAPAP)(,6.0)(1)(,7.0)(1)(注意))((BAAB.故有P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。再由加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7+0.6－0.5=0.8于是25.08.02.0)()()()]([)|(BAPABPBAPBABPBABP25.05.06.07.051)()()()()()()|(51)|()()(72)|(757.05.0)|()|(0705)|()()(:BAPBPAPBAPBAPBBBAPBABPABPAPABPABPABPABPABPAPBAP定义　故　解二由已知18.[十四])(,21)|(,31)|(,41)(BAPBAPABPAP求。解：由61)()(314121)()|()()()()|(BPBPBPABPAPBPABPBAP有定义由已知条件由乘法公式，得121)|()()(ABPAPABP由加法公式，得311216141)()()()(ABPBPAPBAP19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}每种结果（x,y）等可能。A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故3162)(AP}方法二：（用公式)()()|(BPABPBAPS={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则2262)(,6166)(ABPBP，故31626162)()()|(2BPABPBAP20.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(C|AB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3,P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.从而P(ABC)=P(AB)·P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。62.04528)(21028CCAP法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。4528)(21028AAAP法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。452897108)|()()()(1221AAPAPAAPAP（2