概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

41第四章2.[二]某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP=P（调整设备）=P(ξ1)=1－P(ξ≤1)=1－[P(ξ=0)+P(ξ=1)]查二项分布表1－0.7361=0.2639.因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4,0.2639).P(X=0)=04×0.26390×0.73614=0.2936.P(X=1)=14×0.26391×0.73613=0.4210,P(X=2)=24×0.26392×0.73612=0.2264.P(X=3)=34×0.26393×0.7361=0.0541,P(X=4)=44×0.2639×0.73610=0.0049.从而E(X)=np=4×0.2639=1.05563.[三]有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E(X)。∵事件{X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）∴6437414341343413)1(322XP∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”∴6419414241342413)2(322XP同理：647414141341413)3(322XP4264141)4(3XP故1625641464736419264371)(XE5.[五]设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为其他015001500),3000()1500(115000,)1500(1)(22xxxxxf求E(X)解：dxxxfXE)()()(15001500300031500)1500(1015003)1500(1)1500()3000()1500(32232300015002150002分xxxdxxxdxxx6.[六]设随机变量X的分布为X－202Pk0.40.30.3求E(X)，E(3X2+5)解：E(X)=(－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2E(X2)=(－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.47.[七]设随机变量X的概率密度为0,00,)(xxexfx求（1）Y=2X（2）Y=e－2x的数学期望。43解：（1）02)(2)(dxxedxxxfyEx2022xxexe（2）022)()(exeedxxfeYExxx310313xe8.[八]设（X，Y）的分布律为(1)求E(X)，E(Y)。(2)设Z=Y/X，求E(Z)。(3)设Z=(X－Y)2，求E(Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)=(－1)×0.3+0×0.4+1×0.3=0.（2）E(Z)=(－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1=(－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.（3）E(Z)=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=510.[十]一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为0,00,41)(41xxexfx工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售XY123－1010.20.10.10.100.100.30.1XY123－10.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41Z=Y/X－1－1/2－1/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1Z(X－Y)20(1-1)21(1-0)2或(2-1)24(2-0)2或(1-(-1))2或(3-1)29(3-0)2或(2-(-1))216(3-(-1))2pk0.10.20.30.4044一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：一台设备在一年内损坏的概率为411041041141)1(eedxeXPxx故.)1(1)1(1)1(4141eeXPXP设Y表示出售一台设备的净赢利则).1(,100)1(,200)100300()(XXXfY故4141100200200)1(100)1()200()(eeXPXPYE64.3320030041e11.[十一]某车间生产的圆盘直径在区间（a,b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为.,0),(,1)(其它baxabxf用Y表示圆盘的面积，则从而,412XπY).(123)()(414)(41)(223322babaπababπdxxabπdxxfxπYEba12.[十三]设随机变量X1，X2的概率密度分别为0,00,4)(000,2)(4221xxexfxxexfxx求（1）E(X1+X2)，E(2X1－322X)；（2）又设X1，X2相互独立，求E(X1X2)解：（1）0042212142)()()(dxexdxexXEXEXXExx=4341210410214422xxxxexeexe45（2）04222122143212)(3)(2)32(dxexXEXEXXEx=858310812314442xxxeexex（3）814121)()()(2121XEXEXXE13.[十四]将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X)解：引进随机变量号球号盒装非第号球号盒装第第iiiiXi01i=1,2,…n则球盒对号的总配对数为niiXX1Xi的分布列为nXEi1)(i=1,2……n∴11)()()(11nnXEXEXEniiniii=1,2……n14.[十五]共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。解：（1）X123……nPn1111nnn21121nnnnn……n1212111211)(nnnnnnnXE（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。Xi:10P:n1nn146设次试开不能开门第次试开能开门第iiiXi0i=1,2……n则试开到能开门所须试开次数为niiXX1E(Xi)=ni1∵i=1,2……n∴2121)()(11nnnnnniXEXEninii15.（1）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：)()(*XDXEXX验证E(X*)=0，D(X*)=1（2）已知随机变量X的概率密度。,,020|,1|1)(其它xxxf求X*的概率密度。解：（1）0)]()([)(1])()([*)(XEXEXDXDXEXEXED(X*)=E[X*－E(X)*]]2=E(X*2)=2)()(XDXEXE=1)(1)]([)(12XDDXXEXEXD（2）1)]1(1[)]1(1[|]1|1[)(211020dxxxdxxxdxxxXE67)]1(1[)]1(1[|]1|1[)(2121022022dxxxdxxxdxxxXEXii0Pninnnnn11121nn147611)(*61167)]([)()(22XDXXEXXXEXEXD161*)()161()611()*()(yXdxxfyXPyXPyXPyF时即当时即当时即当yyyydxxyyy6,1612166,21610|]1|1[6,016101_610为其他值yyyygX06661|)161(1|1{)(*16.[十六]设X为随机变量，C是常数，证明D(X)E{(X－C)2}，对于C≠E(X)，（由于D(X)=E{[X－E(X)]2}，上式表明E{(X－C)2}当C=E(X)时取到最小值。）证明：∵D(X)－E(X－C)2=D(X2)－[E(X)]2－[E(X2)－2CE(X2)+C2=－{[E(X)]2－2CE(X2)+C2}=－[E(X)－C]20，∴当E(X)≠C时D(X)E(X－C)217.设随机变量X服从指数分布，其概率密度为0,00,1)(xxeθxfθx其中θ0是常数，求E(X)，D(X)。解：θeθdxexeexddxeθxXEθxθxθxθxθx00000)(0)(1)(48又202202221)(θdtetθθxtdxexθXEtθx令D(X)=E(X2)－E2(X)=2θ2－θ2=θ221．设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量且有2)(,)(σXDμXEii,i=1,2,…,n.记niiXnX11，niiXXnS122)(11.（1）验证.)(,)(2nσXDμXE（2）验证niiXnXnS122211.（3）验证E(S2)证明：（1）niniiniiμμnXEnXnEXE1111)(1)1()((利用数学期望的性质2°，3°)nnXDnXnDXDniniinniiXX212212111)(1)1()(,,相互独立(利用方差的性质2°，3°)（2）首先证niiniiXnXXX12212)(.22)2()(122212121212212niiniiniiniiniiiniiXnXXnXXnXXnXXXXXXXXX于是niiniiXXnXnXnS121222)(1111（3）)(11])(11[)(212122XnXEnXXnESEniinii)()(11212XnEXEnnii49))()(()()((11