概率论与数理统计试卷

第1页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷河海大学2008-2009学年第一学期《概率论与数理统计》试卷(A卷)（供2007级工科类各专业使用）2008年12月专业姓名学号成绩题号一二三四五六七成绩得分一、（每空2分，本题满分18分）填空题1．设某人射击的命中率为0.5，则他射击10次至少命中2次的概率为；2．设X为一随机变量，其分布律为，则q；X的分布函数为。3．已知A、B两个事件满足条件)()(BAPABP，且3.0)(AP，则)(BP。4．设随机变量X服从参数为1的泊松（Poisson）分布，则)}({2XEXP。5．设总体),(~2NX，nXXX,,,21是取自X的一个简单随机样本，X与2S分别为样本均值与样本方差，检验假设00:H，01:H，其中0为已知常数，则检验统计量为，在显著性检验水平为时的拒绝域为。6．设101,,XX是来自正态总体),(2N的一个简单随机样本，且)(616211XXXY，)(41109872XXXXY，107222)(31iiYXS令SYYkZ21，则当k时，Z服从t分布，自由度为。X22136.0qqP101第2页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷二、（本题满分12分）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。第3页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷三、（本题满分12分）已知随机变量X的密度函数为其它,010),144()(2xxxcxf求（1）常数c；（2）X的分布函数)(xF；（3）}5.01.0|2.0{XXP。四、（本题满分10分）设2)(XE，4)(YE，4)(XD，9)(YD，5.0XY，求（1）32322YXYXU的数学期望；（2）53YXV的方差。第4页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(YX的联合概率密度函数为：其它,0)1(20,10,1),(xyxyxf求：（1）关于X和Y的边缘密度函数)(xfX和)(yfY；（2）)(XE和)(XD；（3）条件概率密度函数)|(|yxfYX；（4）Z=X+Y的概率密度函数)(zfZ。第5页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷六、（本题满分16分）设总体X的概率密度函数为其它,010,)1()(xxxf其中1为未知参数，nXXX,,,21为来自该总体的一个简单随机样本。（1）求的矩估计量Mˆ；（2）求的极大似然估计量MLEˆ；（3）若给出来自该总体的一个样本1e,2e,2e,1e,3e,3e,2e,2e，求概率}2.0{XP的极大似然估计值。第6页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：49.649.350.150.049.249.949.851.050.2设每袋重量服从正态分布),(2N。（1）试问该包装机工作是否正常?)05.0(（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02，求水泥平均重量的置信度为95%的置信区间。（已知：;5362.0,9.49sx283.11.0z，645.105.0z，960.1025.0z；3968.1)8(1.0t，3830.1)9(1.0t，3722.1)10(1.0t，8695.1)8(05.0t，8331.1)9(05.0t，8125.1)10(05.0t，3060.2)8(025.0t，2622.2)9(025.0t，2280.2)10(05.0t）第7页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷2008-2009学年第一学期《概率论与数理统计》（工科）参考解答A卷一．1．0.990234或9105.055.01；2．0.2；xxxxxF111096.00136.010)(；3．0.7；4．e21；5．nSXt/，)1(ntt；6．512，3。二.设B----“仪器不合格”,iA----“仪器上有i个部件不是优质品”,3,2,1,0i,显然3210,,,AAAA构成样本空间的一个完备事件组,且0)|(0ABP,2.0)|(1ABP,6.0)|(2ABP,9.0)|(3ABP,504.09.07.08.0)(0AP,398.01.07.08.09.03.08.09.07.02.0)(1AP,006.01.03.02.0)(3AP,092.0)()()(1)(3102APAPAPAP(1)由全概率公式有:1402.0)|()()(30iiiABPAPBP(2)由贝叶斯公式有:0)|(0BAP,1402796)()|()()|(111BPABPAPBAP,1402552)()|()()|(222BPABPAPBAP,140254)()|()()|(333BPABPAPBAP,从计算结果可知,一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.三.(1)由1)(dxxf,又dxxf)(3)144(102cdxxxc,所以3c;(2)当0x时,)(xF=0;当10x时,)(xFxxdxxxdxxf02)144(3)(xxx36423,当1x时,)(xF=1,所以X的分布函数为)(xF1,110,3640,023xxxxxx.(3)2.01.0)(}2.01.0{}5.01.0,2.0{dxxfXPXXP2.01.023)24(dxxxx0.1485.01.0)(}5.01.0{dxxfXP5.01.023)24(dxxxx0.256,所以}5.01.0|2.0{XXP256.0148.0}5.01.0{}5.01.0,2.0{XPXXP=0.5781.第8页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷四.(1))323()(22YXYXEUE3)()(2)(322YEXYEXE3)]()([])()()()([2)]()([322YEYDYDXDYEXEXEXDXY=24;(2)),cov(6)()(9)53()(YXYDXDYXDVD)()(645YDXDXY=27.五.(1)dyyxfxfX),()(其它,010),1(21)1(20xxdyx,dxyxfyfY),()(其它,020,211210yydxy(2)dxxxfXEX)()(10)1(2dxxx=31,dxxfxXEX)()(22102)1(2dxxx=61,所以)()()(22XEXEXD1819161(3)当20y时,)|(|yxfYX)(),(yfyxfY其它,0210,22211yxyy;(4)}{}{)(zYXPzZPzFZzyxdxdyyxf),(zzdydxdydxzdydxzxzxzzxzz2,121,1110,10,0)1(201202000zzzzzzzzz2,121,)1()2(21)2(10,20,0222,所以其它,021,210,)()(zzzzdzzdFzfZZ.六.(1)因dxxxfXE)()(dxx110)1(21,令XXE)(即X21,解得XXM112ˆ.(2)设nxxx,,,21是样本nXXX,,,21的观测值,则似然函数为niixfL1)()(,当0nxxx,,,211时有:niixL1)1()(,取对数得niixnL1ln)1ln(ln,故由第9页共9页2008工科《概率论与数理统计》A卷0ln1ln1niixndLd解得niiMLExn1ln1ˆ,从而的极大似然估计量为niiMLEXn1ln1ˆ(3)因为12.002.0)1(}2.0{dxxXP,所以}2.0{XP的极大似然估计为1ˆ2.0MLE,又16ln1niix,所以211681ˆMLE,故}2.0{XP的极大似然估计为2.02.01ˆMLE.七.(1)构造假设50:00H,50:1H,取检验统计量)1(~/00ntnSXTH为真,由)}1(|{|2/ntTP得拒绝域为:)1(||2/ntT.又9n,9.49x,29.02s,05.0,3060.2)8(025.0t,3060.256.09/29.0|509.49|T,故应接受0H,即认为包装机工作正常.(2)因为3.02已知,所以总体均值的置信度为1的置信区间为),(2/2/nzxnzx,又96.1025.02/zz,故),(2/2/nzxnzx=)93.096.19.49,93.096.19.49()2578.50,5422.49(.