概率论与数理统计知识点总结

1《概率论与数理统计》第一章随机事件及其概率§1.1随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：§1.2概率古典概型公式：P（A）=所含样本点数所含样本点数A实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：nnnnn...Α所含样本点数：!1...)2()1(nnnnnnnAP!)(补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设Ai：“信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=？Ω所含样本点数：6444443A1所含样本点数：24234836424)(1AP2A2所含样本点数：363423C1696436)(2APA3所含样本点数：4433C161644)(3AP注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）12、P(Ω)=1，P(φ)=0§1.3概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则P(A1+A2+...+An)=1推论3：P（A）=1－P（A）推论4：若BA，则P(B－A)=P(B)－P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)补充——对偶律：nnAAAAAA......21213nnAAAAAA......2121§1.4条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(BPABP（P(B)≠0）P(B/A)=)()(APABP（P(A)≠0）∴P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：niiiABPAPBP1)/()()(逆概率公式：)()()/(BPBAPBAPii),...,2,1(ni（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）§1.5独立试验概型4事件的独立性：)()()(BPAPABPBA相互独立与贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）：课本P24另两个解题中常用的结论——1、定理：有四对事件：A与B、A与B、A与B、A与B，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、公式：)...(1)...(2121nnAAAPAAAP第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：⑴确定各种事件，记为写成一行；⑵计算各种事件概率，记为pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质——1、0kp（非负性）2、1kkp（可加性和规范性）补例1：将一颗骰子连掷2次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率分布。解：Ω所含样本点数：6×6=36所求分布列为：补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。pk5解：Ω所含样本点数：35C=10所求分布列为：2、求分布函数F(x)：分布函数xxkkpxPxF)(二、关于连续型随机变量的分布问题：x∈R，如果随机变量的分布函数F（x）可写成F（x）=xdxx)(，则为连续型。)(x称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：0)(x1)(dxxbadxxaFbFbaPbaP)()()(}{}{第三章随机变量数字特征一、求离散型随机变量的数学期望E=？数学期望（均值）kkkpxE6/103/101/10pk5436二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f()也是随机变量，求Eη=?x1x2…xkpkp1p2…pkη=f()y1y2…yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设的概率分布为：－101225pk51101101103103求：⑴1，2的概率分布；⑵E。解：因为－101225pk51101101103103η=－－2－10123η=1014425所以，所求分布列为：η=－－2－10123pk51101101103103和：η=1014425pk511011011031037当η=－1时，Eη=E（－1）=－2×51+(－1)×101+0×101+1×103+23×103=1/4当η=时，Eη=E=1×51+0×101+1×101+4×103+425×103=27/8三、求或η的方差D=？Dη=？实用公式D=2E－2E其中，2E=2)(E=2)(kkkpx2E=kkkpx2补例2：－202pk0.40.30.3求：E和D解：E=－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2E2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8D=E2－2E=2.8－（－0.2）2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．）名称概率分布或密度期望方差参数范围8二项分布npnpq0P1q=1－p正态分布μμ任意σ0泊松分布不要求λλλ0指数分布不要求λ0解题中经常需要运用的E和D的性质（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．）E的性质D的性质2121),...,2,1,0(nkqpCkPknkkn.).(,21)(222)(为常数，，xexxccE)(0)(cD9————————第八章参数估计§8.1估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）⑴若总体参数θ的估计量为ˆ，如果对任给的ε0，有1}ˆ{limPn，则称ˆ是θ的一致估计；⑵如果满足)ˆ(E，则称ˆ是θ的无偏估计；⑶如果1ˆ和2ˆ均是θ的无偏估计，若)ˆ()ˆ(21DD，则称1ˆ是比2ˆ有效的估计量。§8.3区间估计：几个术语——1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量)...(ˆ11n，x，x及)...(ˆ12n，x，x，对于给定的（01）满足：EEE)(DDD)(独立，则、若EEE)(独立，则、若EccE)(DccD2)(101)}...(ˆ)...(ˆ{1211nn，x，x，x，xP则称随机区间（1ˆ，2ˆ）是的100（1－）％的置信区间，1ˆ和2ˆ称为的100（1－）％的置信下、上限，百分数100（1－）％称为置信度。一、求总体期望（均值）E的置信区间1、总体方差2已知的类型①据，得)(0U＝1－2，反查表（课本P260表）得临界值U；②x=niixn11③求d=nU④置信区间（x-d，x+d）补简例：设总体)09.0,(~NX随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值μ的95%的置信区间。解：①∵1－α=0.95，α=0.05∴Φ（Uα）=1－2=0.975，反查表得：Uα=1.96②4113)2.138.124.136.12(4141iiXX③∵σ=0.3，n=4∴d=nU=43.096.1=0.29④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：（X－d，X＋d）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）2、总体方差2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！）①据和自由度n－1（n为样本容量），查表（课本P262表）得)1(nt；11②确定x=niixn11和niixxns122)(11③求d=nsnt)1(④置信区间（x-d，x+d）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差2的置信区间①据α和自由度n－1（n为样本数），查表得临界值：)1(22n和)1(221n②确定X=niixn11和niixXns122)(11③上限)1()1(2212nsn下限)1()1(222nsn④置信区间（下限，上限）典型例题：补例1：课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（α＝0.04）。解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n－1=9∴查表得，)1(22n=)9(202.0=19.7)1(221n=)9(298.0=2.5312②X=101101iix=)469...493482(101=457.510122)(91iixXs=91[2)4825.457(+2)4935.457(+…+2)4695.457(]=1240.28③上限)1()1(2212nsn=)9(9298.02s=53.228.12409=4412.06下限)1()1(222nsn=)9(9202.02s=7.1928.12409=566.63④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）第九章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平，确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型⑵：未知方差2，检验总体期望(均值)μ①根据题设条件，提出H0:=0(0已知)；②选择统计量)1(~/ntnsXT；13③据和自由度n－1（n为样本容量），查表（课本P262表）得)1(nt；④由样本值算出X＝？和s＝？从而得到nsXT/0；⑤作出判断0000)1()1(H，ntTH，ntT则拒绝若则接受若典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α=0.05）解：H0:=549选择统计量)1(~/ntnsXT∵=0.05，n－1=4，∴查表得：)4(05.0t=2.776又∵X=)545...545(51=543s2=])545543(...)545545[(4122=57.5∴nsXT/0=5/5.57549543=1.772.776∴接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型⑶：未知期望(均值)μ，检验总体方差2①根据题设条件，提出H0:=0(0已知)；14②选择统计量222)1()1(snn；③据和自由度n－1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：)1(212n和)1(22n；④由样本值算出X＝？和s＝？从而得到2220)1()1(snn；⑤若)1(212n)1(20n)1(22n则接受假设，