概率论与数理统计第2章复习题解答

第1页共5页《概率论与数理统计》第二章复习题解答1.将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球.如一只球装入了与之同号的盒子,称形成了一个配对.记X为总的配对数,求X的分布律.解：241!41)4(XP；0)()3(ΦPXP——因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；41!41)2(24CXP——当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b）都不形成配对的放法只1种，即分别放入标号b,a的盒中；31!42)1(14CXP——当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中；249314102411)0(XP.于是，分布律为X01234pk9/241/31/401/242.盒中装有10个大小相等的球,编号为0-9.从中任取一个,在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量.2,1,0X求X的分布律、分布函数、分析2)1(XY服从什么分布.解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是X的分布律为X012pk0.50.10.4（2）X的分布函数为2,121,6.010,.500,0)(xxxxxFX；（3）2)1(XY分布律为Y01pk0.10.9第2页共5页即2)1(XY服从参数为0.9的0-1分布.3.设随机变量X的分布密度为xAexfxX,)(.求（1）A的值;（2）)21(XP;（3）X的分布函数;（4）21XY的分布密度.解：（1）122)(0AdxAedxxfxX,21A，0,210,21)(xexexfxxX；（2）)(2112121)21(212001eedxedxeXPxx；（3）0,21121210,2121)()(00xedtedtexedtedttfxFxxttxxtxXX；（4）)1(1)1()1()()(222yXPyXPyXPyYPyFY1,011,)11(1yyyXyP1,11,)1()1(1yyyFyFXX求导得1,01,121)]1()1([)(yyyyfyfyfXXY1,01,121]2121[11yyyeeyy1,01,1211yyeyy.4.根据历史资料分析,某地连续两次强地震间隔的年数X的分布函数为0,00,1)(1.0xxexFx，现在该地刚发生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）X的分布密度)(xf，指出X服从什么分布.解：（1）26.01)3()3(31.0eFXP；（2）13.0)1()1()3()5()53(31.051.0eeFFXP.（3）X的分布密度0,00,1010,00,1.0)(1011.0xxexxexfxx，故X服从参数为10的指数分布.第3页共5页5.（1）设),2(~pbX,),3(~pbY,且95)1(XP,求)1(YP.（2）设)(~PX,且)2()1(XPXP,求)4(XP.（3）设),(~2NX，试分析当时，概率)(XP的值将如何变化.解：（1）),2(~pbX，95)1(1)0(1)1(2pXPXP，故321p，31p.从而)31,3(~bY,2719)32(1)1(1)0(1)1(33pYPYP.（2）)(~PX,且)2()1(XPXP,即ee!2!121,亦即22,又0,2.从而)2(~PX,2!2)(ekkXPk,.2,1,0k于是22432!42)4(eeXP.（3）),(~2NX，故6826.01)1(2)1()1()()(XPXP.故当时，概率)(XP的值保持不变,始终是常数0.6826.6.设某城市男子的身高(单位:cm))6,170(~2NX.（1）应如何设计公共汽车的车门高度,才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm,求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：（1）设公共汽车的车门高度应为xcm.则要使01.0)6170(1)(1)(xxXPxXP,只须)33.2(99.0)6170(x,从而只要33.26170x,于是98.183x即可.（2）若车门高度为182cm,则1个男子会与车门碰头的概率为0228.0)2(1)6170182(1)182(1)182(XPXPp设100个男子中会与车门碰头的人数为Y,于是)0228.0,100(~bY,从而34.09772.00228.09772.00228.0)1()0()1(991110010000100CCYPYPYP.7.设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹,若炸弹落在铁路两旁40米以内,即可破坏铁路交通.记弹落点与铁路的距离为X(单位:米),落在铁路一侧时X的值为正,落在另一侧时为负.X的概率密度为其它,01000,100001000100,10000100)(xxxxxf第4页共5页若3颗炸弹全部使用,求敌人铁路交通受到破坏的概率.解：1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为64.01000010010000100)()40(4000404040dxxdxxdxxfXPp设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为Y,则)64.0,3(~bY，从而至少1颗炸弹落在铁路两旁40米以内（可破坏铁路交通）的概率为95.0)64.01(1)0(1)1(3YPYP8.设),(~baUX,证明:当0k时,lkXY仍服从均匀分布.证明：),(~baUX，其它,0,1)(bxaabxfX，而)()()()()(klyFklyXPylkXPyYPyFXY求导得kklyfyfXY1)()(.又因为0)(klyfXlbkylakbklya，故其它,0,)(1)(lbkylakkabyfY.即当0k时,lkXY在),(lbklak上服从均匀分布.证毕.9.（1）设X的分布密度其它,011,1)(xxxfX,用分布函数法求XY的分布密度；（2）设)1,0(~UX,用公式法求XY11的分布密度.解：（1）0,00,)()()()()()(yyyFyFyXyPyXPyYPyFXXY,求导得0,00,)()()(yyyfyfyfXXY注意到当且仅当10y时)(),(yfyfXX取非零表达式，故其它,010),1(2)1()1()(yyyyyfY（2）)1,0(~UX，其它,010,1)(xxfX，而当10x时第5页共5页xy11单调可导；反函数为11)(yyh，21)('yyh；21)1(,1)0(yy，由定理知其它,0121,)('))(()(yyhyhfyfXY其它,0121,12yy10.试证明：若,3,2,1,)1()(1kppkXPk,则)()(tXPsXtsXP,其中ts,是非负整数.（即几何分布具有“无记忆性”)证明：tttkktkkpppppppptXP)1()1(1)1()1()1()(1111，)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP，由上一步结果知tstspppsXtsXP)1()1()1()(，故)()(tXPsXtsXP对任意非负整数ts,成立.即几何分布与指数分布一样，具有“无记忆性”.证毕.