概率论与数理统计第9讲4.20

1概率论与数理统计第9讲（夜大）三、正态分布设连续型随机变量X的概率密度为xexfx,21222其中0,为常数，则称X服从参数为,的正态分布或高斯分布，记为2,~NX。显然有0xf，我们证明1dxxf。令tx，得到dtedxetx222222121记dteIt22，则有dtdueIut2)(222，利用极坐标变换将它化成累次积分，得到222022drdreIr由于0I，故有2I，于是1212122222dtedxetx参数,的意义我们将在后面进行说明。xf的图形如下图所示由xf的公式和图形，我们可以得到正态分布许多重要的性质：（1）曲线关于x对称。这表明对于任意0h，hXPXhP（2）当x时，取到最大值21f可以知道x离越远，xf的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落在这个区间上的概率就越小。（3）在x处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。2（4）如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线xfy位置完全由参数所确定，称为位置参数。如果固定，改变，由于最大值21f，可知当越小时，图形变得越尖，因而X落在附近的概率越大。由概率密度函数可以得到X的分布函数为xtdtexF22221特别，当0，1时称X服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别用xx,表示，即有xexx,2122xtdtex2221显然，xx1对于标准正态分布，不同的X值可以查x的函数表。一般地，如果2,~NX，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。引理若2,~NX，则1,0~NXZ证明：XZ的分布函数为dtexXPxXPxZPxt22221令yt，得到xdyexZPxy2221所以，有1,0~NXZ。于是，若2,~NX，则它的分布函数xF可写成：xxXPxXPxF3对于任意区间21,xx，有122121xxxXxPxXxP例如，设4,1~NX，求6.10XP3094.06915.016179.05.016179.05.03.0210216.16.10XP例7设随机变量2,2~NX，且3.042XP，则____0XP。解：因为3.00222242442FFXP又因为210，即得8.03.0212，故2.08.012120000FXPXP例8设22,3~NX，求（1）52XP，2XP；（2）确定C使CXPCXP解：（1）利用标准化变化及x性质xx10x，得到52XP5327.016915.08412.02115.215.011221212XPXPXP6978.09938.06916.01（2）因为CXPCXP，所以CXPCXP1，故5.0CXP，即5.023C，可知023C，所以C=3。例9设随机变量24,~NX，25,~NY，记41XPp，52YPp，证明对任意实数，均有21pp4证：分别计算21,pp的值。为此，将X，Y标准化，得到11141XPp，1152YPp因此，有21pp。设2,~NX，由x的函数表可以得到%26.6811211XP.%44.951222222XP.%74.991323333XP我们可以看到，尽管正态随机变量的取值范围是,，但是它落在3,3内几乎是肯定的事。这一事实人们称之为“3”法则。为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，我们引入上分位点的定义。设1,0~NX，若z满足条件10,zXP则称点z为标准正态分布的上分位点。由标准正态分布的x图形，可以知道zz1如图下面给出几个常用的z值。0.0010.0050.010.0250.050.10z3.0902.5762.3271.9601.6451.282在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布起着特别重要的作用。作业：P130、10、11、12、14、复习连续型随机变量的分布。