概率论与数理统计第二章第五节随机变量函数的分布

第五节随机变量函数的分布教学目的:1.了解离散型随机变量函数的分布律的求法；2.掌握定义法求连续型随机变量函数的分布；3.掌握公式法求连续型随机变量函数的分布；4.正态分布线性变换仍然服从正态分布。教学重点:连续型随机变量函数的概率分布的求法。教学难点:连续型随机变量函数的概率分布的求法。教学内容:一、随机变量的函数定义如果存在一个函数)(Xg,使得随机变量YX,满足:)(XgY,则称随机变量Y是随机变量X的函数.注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.一般地,对任意区间I,令})(|{IxgxC,则},{})({}{CXIxgIY}.{})({}{CXPIxgPIYP注:随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为,2,1,}{ipxXPii易见,X的函数)(XgY显然还是离散型随机变量.如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布?其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值,然后对Y的每一个可能取值,,2,1,iyi确定相应的},)(|{ijjiyxgxC于是},{})({}{iiiiCXyxgyY.}{}{}{ijCxjiixXPCXPyYP从而求得Y的概率分布.三、连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.设已知X的分布函数)(xFX或概率密度函数)(xfX,则随机变量函数)(XgY的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(yYCXPyXgPyYPyF其中}.)(|{yxgxCy而}{yCXP常常可由X的分布函数)(xFX来表达或用其概率密度函数)(xfX的积分来表达:yCXydxxfCXP)(}{进而可通过Y的分布函数)(xFY,求出Y的密度函数.定理1设随机变量X具有概率密度),(),(xxfX,又设)(xgy处处可导且恒有0)(xg(或恒有0)(xg),则)(XgY是一个连续型随机变量,其概率密度为其它,0|,)(|)([)(yyhyhfyfY其中)(yhx是)(xgy的反函数,且)).(),(max()),(),(min(gggg离散型随机变量函数的分布例1（讲义例1）设随机变量X具有以下的分布律,试求2)1(XY的分布律.4.01.03.02.02101ipX连续型随机变量函数的分布例2（讲义例2）设随机变量)1,0(~NX,XeY，求Y的概率密度函数。例3（讲义例3）设其它,040,8/)(~xxxfXX,求82XY的概率密度.例4设)1,0(~NX,求2XY的密度函数.例5（讲义例4）已知随机变量X的分布函数)(xF是严格单调的连续函数,证明)(XFY服从]1,0[上的均匀分布.例6（讲义例5）的线性函数试证明设随机变量XNX).,(~2baXY)0(a也服从正态分布.例7设随机变量X服从参数为的指数分布,求}2,min{XY的分布函数.例8（讲义例6）设随机变量X在)1,0(上服从均匀分布,求XYln2的概率密度.注：在实际中,通常用对数正态分布来描述价格的分布,特别是在金融市场的理论研究中,如著名的期权定价公式（Black—Scholes公式）,以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格.设某种资产当前价格为0P,考虑单期投资问题,到期时该资产的价格为一个随机变量,记作1P,设投资于该资产的连续复合收益率为r,则有rePP01从而0101lnlnlnPPPPr注意到0P为当前价格,是已知常数,因而假设价格1P服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r服从正态分布.课堂练习：1.设X的分布列为10/310/110/110/15/12/52101ipX试求:(1)2X的分布列;(2)2X的分布列.2.设随机变量X的概率密度为.,0,0,/2)(2其它xxxf求XYsin的概率密度.课后作业：P51T1，T4，T5