搜索
第二章1．解：X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。X=2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636PX===´；X=3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618PX===´；X=4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612PX===´；X=5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则{}415669PX===´；X=6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则{}5566636PX===´；X=7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则{}617666PX===´；类似地，可以算得{}5586636PX===´，{}419669PX===´，{}31106612PX===´，{}21116618PX===´，{}11126636PX===´。因此，X的分布律为[()](),,,{}[()](),,,||,,,,,166167,23736363666167,8912363667234111236iiiiPXiiiiiiì------ïï===ïïï==íï-----ï==ïïïî--==LLL2．解：设随机变量X表示产品质量的等级，X的可能取值为1，2，3。由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2：1：0.5=4：2：1，因此可求得X的分布律为123421777kXP3．解：X的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为{}.007PX==，{}...10307021PX==?，{}....20303070063PX==创=，{}.....30303030700189PX==创?，{}.....40303030300081PX==创?。即X的分布律为.....012340702100630018900081kXP。6．解：X的可能取值为1，2，3，其取值概率为24353{1}5CPXC===，23353{2}10CPXC===，22351{3}10CPXC===；即X的分布律为12333151010kXP。8．解：设X表示发生交通事故的次数，则(1000,0.0001)XB:。由于1000n=比较大，0.0001p=比较小，所以X近似服从泊松分布，且0.1npl==。那么{2}1{0}{1}10.90480.09050.0047PXPXPX?-=-==--=。9．解：（1）0.50.50.5200{0.5}()20.25PXfxdxxdxx-??===蝌；（2）由课本31页的性质2，可知{0.5}0PX==；（3）当0x£时，()()00xxFxftdtdt-??===蝌；当01x时，02200()()02xxxFxftdtdttdttx-??==+==蝌?；当1x³时，0112001()()0201xxFxftdtdttdtdtt-??==++==蝌蝌；所以X的分布函数为20,0(),011,1xFxxxxì£ïïïï=íïï³ïïî。10．解：元件使用1500h后失效（即元件的寿命不超过1500h）的概率为：150015001500210001000100010001{1500}()3PXfxdxdxxx-??==-=蝌；设Y表示5个元件在使用1500h后失效的个数，则1(5,)3YB:，因此恰有2个元件失效的概率为：23251280{2}33243PYC骣骣琪琪==创=琪琪琪琪桫桫。11．解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，所以有2111lim()lim()lim(1)xxxFxFxAxF--®===，即有A=1；（2）由分布函数的性质1，有22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF=-=-=；（3）由课本38页的（2-14）式，有2,01()()0,xxfxFxì?ïï¢==íïïî其他。12．解：（1）由课本31页的性质1，有00()22[]21xxxfxdxAedxAedxAeA+???--+?-??===-==蝌?，即有12A=；（2）由于X的概率密度函数是分段函数1,02()1,02xxexfxex-ìïïïï=íïïïïî，因此当0x时，111()()222xxxttxFxftdtedtee-??-?====蝌，当0x³时，000011111()()122222xxxttttxFxftdtedtedteee----??-?==+=-=-蝌?；所以X的分布函数为1,02()11,02xxexFxex-ìïïïï=íïï-?ïïî。13．解：（1）由课本37分布函数的性质2，可得到()lim()lim(arctan)()lim()lim(arctan)0212xxxxFFxABxABFFxABxAB，因此，可求得,112AB，即()arctan112Fxx；（2）由分布函数的性质1，有{}{}()()1111112PxPxFF；（3）由课本38页的（2-14）式，有()()(arctan)2111121fxFxxx。14．解：对于实系数一元二次方程()200axbxca，其有实根的充分必要条件为240bac。因此，方程2230xTx有实根的充要条件是()22430T，也就是要求随机变量T满足23T，亦即33TT或；由于[,]24TU，所以方程有实根的概率为{}{}{}{}23423333331131663PTPTTPTPTdxdx或。15．解：依题意，可知()1200XE，其中,(),200102000xexfx其他；（1）{}100110020020020011001200xxPXedxee；（2）{}320020023003001300200xxPXedxee。17．解：(,)34XN，可知,32；（2）{}()()()()().933339332310997422PX；（3）{}{}{}[()()][(.)(.)][(.)(.)].2121222323122105251250506977PXPXPX。18．解：钢材的强度(,)220018XN，其中,20018；（1）{}()(.)(.).180200180111111110866518PX；（2）由于{}()(.).%1502001501278099739918PX，因此这批钢材合格。19．解：先计算如下表格sin1114420220010kPXYXYX因此，可求得随机变量函数的分布为：20111442kYXP，sin013144kYXP。20．解：设Y的分布函数为()YFy，由于(,)234XN，其概率密度函数表达式为()()22324124xXfxe，可先求得Y的分布函数：(){}{}{}()343434YXXFyPYyPyPXyFy；则有()()()()()22243324243114434242yyXYYXdFyfyFyfyeedy，这显然是标准正态分布的概率密度函数，也就是说(,)01YN。一般来说，若(,)2XN，则X的线性函数YaXb也服从正态分布，并且(,)22YNaba，特别地，(,)01XYN。21．解：设Y的分布函数为()YFy，则(){}{ln}{}()yyYXFyPYyPXyPXeFe，因此，Y的概率密度函数为()()()(),(,)()221yyyyXYYXydFeefyFyefeydye。（注意：0,(,)yey???）