概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理

河北金融学院教案课程名称：概率论与数理统计教材名称：《概率论与数理统计》出版单位：中国质检出版社出版时间：2011年6月主编：陈爱江、张文良教案编写人：尹亮亮授课专业（班级）：10物流本、10国贸本、10保险本授课时间：2011年9月—2012年1月河北金融学院课程教案授课教师：授课班级：授课时间：课题§5.1大数定律的概念§5.2切贝谢夫不等式§5.3切贝谢夫定理教学基本要求与目标了解大数定律的实际意义及三大定律之间的联系；掌握切贝谢夫不等式的内容及利用不等式估计随机变量区间概率的方法方法与手段讲解与练习相结合实践性环节课堂练习课外要求完成课后习题内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配教学引入：在第一章，我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。在实践中，人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。本节介绍三个定理，他们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。△一、切贝谢夫不等式1、定理内容：随机变量X，数学期望E，方差2D，则对0有：22P2、概念解析：定理的另一种形式22{}1PP3、例题应用若废品率为0.03，利用切贝谢夫不等式估计1000个产品中废品多于20少于40的概率。4、不等式的局限性对于随机变量2(,)N，可由不等式估计221{3}0.11(3)9P10’30’内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配但根据第二章的3原则可知{3}0.997,{3}0.003PP故切贝谢夫不等式估计精度不够，但理论引用却很强，下面的三大大数定律均是由不等式加以证明的﹡二、大数定律1、引入：设A事件在一次实验中发生的概率为p，共进行了n次试验，其中事件A发生了n次，则事件A在n次试验中的频率为nn，当n时，频率会逐渐稳定与概率，但并非limnnpn该极限意味着0,NZ在变化过程中，对于nN而言，总会有不等式nn成立。然而，nn是随机的，在实验过程中，,,AAA即每次试验事件均发生这一结果是有可能出现的，此时,1nnnn，从而即使特别小(01)p，无论N多大，也无法保证当nN时不等式nn成立，所以极限关系不一定正确。但是，当n很大时，0,{}nPpn却是很小的，即使如上述,{1}{},nnnnnPPnpn当n时0np，也就是说，当n时{}0nPpn2、贝努里大数定律设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0，有lim1AnnPpn，lim0AnnPpn30’内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配3、切贝谢夫大数定律设{}n是一个两两不相关的随机变量序列，设它们的方差均有界即存在常数0c有,1,2,3,iDci则对于0，1111lim()1nniiniiPEnn4、辛钦大数定律设{}n是一个相互独立同分布的随机变量序列，且期望存在，即,1,2,3,iEai，则对于0有11lim1niniPan三、本节内容总结1、三大定律之间的关系2、大数定律的一般定义设{}n是一个随机变量序列，即123,,若存在常数列{}na，即123,,aaa使得对于0均有11lim1ninniPan则称随机变量序列{}n服从大数定律。3、依概率收敛10’课后心得河北金融学院课程教案授课教师：授课班级：授课时间：课题§5.4中心极限定理教学基本要求与目标理解中心极限定理的实际意义；掌握利用中心极限定理计算概率的基本方法方法与手段讲解与练习相结合实践性环节课堂练习课外要求完成课后习题内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配复习要点：切贝谢夫不等式；三大大数定律以及依概率收敛△一、标准化（中心化）引入：设22(,),,XNEXDX，则(0,1),()0,()1XXXNED推广：设{}iX为相互独立的随机变量序列，且,iiEXDX均存在由数字特征的性质可知：1111,nnnniiiiiiiiEXEXDXDX则对于nZ，设111()()()nniiiinniiXEXSDX111()()0()nniiiinniiEXEXESDX111211[()()]()1()[()]nnniiiiiinnniiiiDXEXDXDSDXDX将上述过程称为1niiX的标准化（中心化）过程。10’30’内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配标准化的意义：nS称为1nkkX的标准化变量，其分布函数对于xR有2/211limlim2nkxtknnnXnFxPxedtxn△﹡二、中心极限定理1、李雅普诺夫定理设随机变量序列{},1,2,3iXi是相互独立的序列，且iiEX，2iiDX1,2,kL，且每个iX对总和影响不大，令21nniiS则对于xR有2/21()1limlim2niixtknnnnXFxPxedtxS定理解析：标准化过程分析定理意义：如果一个随机现象由众多随机变量因素引起，每一个因素在总的变化中作用不显著（相互独立），则这些随机变量的总体和近似的服从正态分布，而其标准化以后近似的服从标准正态分布即：1niiX近似服从211(,)nniiiiN2、林德贝尔格—勒维定理设随机变量序列{},1,2,3iXi是相互独立且同分布的序列，其中2,iiEXDX则对于xR有2/211limlim2nixtknnnXnFxPxedtxn40’内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配定理解析：标准化过程定理意义：勒维定理是李雅普诺夫定理，当随机变量序列同分布时候的特殊情况。推广：1niiX近似服从2211(,)(,)nniiiiNNnn11niiXXn近似服从2(,)Nn定理应用：一根粉笔的长度是一个随机变量，其期望值为8厘米，标准差为0.1厘米，求一盒（100根）同型号粉笔总长度超过8.02米的概率3、德莫佛—拉普拉斯定理在n重贝努力试验中事件A发生的概率为01pp，n为实验中事件A发生的次数，则xR有2/21limlim,12xtnnnnnpFxPxedtxqpnpq其中定理解析：标准化过程定理意义：拉普拉斯定理是勒维定理，当随机变量序列同0-1分布时候的特殊情况。△三、中心极限定理的理论应用应用背景：以n贝努力试验中，事件A发生的次数nk为例，当n很大时，计算{}kknknnakbPabCpq的计算量非常大分析：此时可由定理知：2/21{}2xtnnpPxedtxnpq所以：{}{}()()nnnpanpbnpbnpanpPabPnpqnpqnpqnpqnpq查询正态分布表即可计算结果。若1(,),{}()knpXBnpPXknpqnpq20’内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”）课时分配例题分析：某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的事件要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机用外线时不等候课后心得