概率论与数理统计第八章习题

1概率论与数理统计习题第八章假设检验习题8-1某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25;H1：μ≠3.25（2）选取检验统计量为)1(~25.3ntnSXt（3）H0的拒绝域为|t|≥).1(2ntα（4）n=5,α=0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512iiXXnSx查表t0.005(4)=4.6041,)1(343.0501304.025.3252.3||2nttα（5）故在α=0.01下，接受假设H0习题8-2要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为=100小时的正态分布。试在显著性水平=0.05下判定这批元件是否合格？设总体均值为，未知。即需检验假设01:1000,:1000HH。解：步骤：（1）:0Hμ≥1000；H1：μ1000；（σ=100已知）（2）H0的拒绝域为αznσx1000（3）n=25，α=0.05，950x，计算知645.15.225100100005.0zx（4）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。习题8-3下表分别给出两个文学家马克·吐温（MarkTwain）的8篇小品文以及斯诺特格拉斯（Snodgrass）的10篇小品文中由3个字母组成的单字的比例。2马克·吐温0.2250.2620.2170.2400.2300.2290.2350.217斯诺特格拉斯0.2090.2050.1960.2100.2020.2070.2240.2230.2200.201设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，但参数均未知。两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的单字的比例是否有显著的差异（取0.05）？h=1significance=0.0013ci=0.01010.0343stats=tstat:3.8781df:16sd:0.0121h=1,拒绝原假设,认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有显著的差异。习题8-4在20世纪70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA），到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出分别在新老两种过程中形成的NDMA含量（以10亿份中的份数计）。老过程645565564674新过程212210321013设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，但参数均未知。两样本相互独立，分别以12,记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设（取0.05）012112:2,:2HH。解这是一个两总体的正态分布的检验问题，21及22未知，这里2221．由题意，需要检验的假设为211210:,:HH选取统计量2111nnSYXTw计算得2097.0,232.0yx，321222211101.122)1()1(nnsnsnsw统计量的观测值918.310181101.122097.0232.03t05.0,查表知1199.2)2(212nnt)2(212nntt,因而拒绝0H，即有显著差异．3习题8-5测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，2为总体方差，2未知。试在水平0.05下检验假设15.461.60041.599.66F。解：（1）H0：σ2≥(0.04%)2；H1：σ2(0.04%)2（2）H0的拒绝域为)1(%)04.0()1(2122nχSnα（3）n=10，α=0.05，S=0.037%，查表知325.3)9(295.0χ由计算知).9(701.7%)04.0()037.09%)04.0()1(295.02222χSn（4）故在α=0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%习题8-6在第4题中分别记两个总体的方差为21和22。试检验假设（取0.05）2222012112:,:HH以说明在第4题中我们的假设2212是合理的。解：（1）H0：222112221:,σσHσσ（2）选取检验统计量为)1,1(~212221nnFSSF（3）H0的拒绝域为)1,1()1,1(2121212nnFFnnFFαα或（4）n1=8，n2=10，α=0.05，查表知F0.025(7,9)=4.20298.000084.000025.0,207.082.41)7,9(1)9,7(2221025.0975.0SSFFFF0.975(7,9)FF0.025(7,9)（5）故在α=0.05下，接受H0，认为2221σσ习题8-7有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量1260,40nn的样本，测得部件重量（以kg计）的样本方差分别为221215.46,9.66ss。设两样本相互独立，两总体分别服从221122(,),(,)NN分布，2,ii（i=1，2）均未知，试在水平0.05下检验假设2222012112:,:HH。4解21,未知.已知2221ss,选择统计量22212SSF计算统计量的观测值6004.166.946.1522212ssF根据05.0和自由度391,5912211nfnf,查F检验的临界值表得到120.05(1,1)(59,39)1.645FnnF因)1,1(212nnFF，拒绝0H.