概率论与数理统计答案第七章

第七章参数估计1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。解：μ，σ2的矩估计是6122106)(1ˆ,002.74ˆniixXnX621086.6S。2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）其它,0,)()1(cxxcθxfθθ其中c0为已知，θ1，θ为未知参数。（2）.,010,)(1其它xxθxfθ其中θ0，θ为未知参数。（5）ppmxppxXPxmxmx,10,,,2,1,0,)1()(为未知参数。解：（1）XθcθθcθcθcθdxxcθdxxxfXEθθcθθ1,11)()(1令，得cXXθ（2）,1)()(10θθdxxθdxxxfXEθ2)1(,1XXθXθθ得令（5）E(X)=mp令mp=X，解得mXpˆ3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数1211)()()(θnθnnniixxxcθxfθL0lnln)(ln,ln)1(ln)ln()(ln11niiniixcnnθθdθLdxθcθnθnθLniicnxnθ1lnlnˆ（解唯一故为极大似然估计量）（2）niiθnnniixθθnθLxxxθxfθL112121ln)1()ln(2)(ln,)()()(niiniixnθxθθnθdθLd121)ln(ˆ,0ln2112)(ln。(解唯一)故为极大似然估计量。（5）niniiixmnxnniippxmxmxXPpL11)1(}{)(11，),1ln()(lnln)(ln111pxmnpxpLniiniinimxi01)(ln11pxmnpxdppLdniinii解得mXmnxpnii2，（解唯一）故为极大似然估计量。4．[四(2)]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计X~π(λ)，E(X)=λ，故λˆ=X为矩估计量。（2）极大似然估计λnnxniiexxxλλxPλLnii!!!);()(2111，λnxλxλLniinii11!lnln)(lnXλnλxλdλLdniiˆ,0)(ln1解得为极大似然估计量。（其中),1,0,!}{);(iλixiixexλxXPλxpi5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为λˆ=X=0.499[四(1)]设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ)2其中θ(0θ1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求θ的矩估计值θθθθθθθθθXE23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(22XθXE23)(令则得到θ的矩估计值为6523121323ˆXθ（2）求θ的最大似然估计值似然函数}1{}2{}1{}{)(32131XPXPXPxXPθLiii)1(2)1(2522θθθθθθlnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导01165)(lnθθdθLd得到唯一解为65ˆθ8．[九(1)]设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使21121)(σXXcniii为的无偏估计。解：由于11212111211121]))(()(])([])([niiiiiniiiniiiXXEXXDcXXEcXXcE=11112222111)12()02(])()()([niniiiiσncσcEXEXXDXDc当的无偏估计为时21121)(,)1(21niiiXXcnc。[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量)(31)(6143211XXXXT5)432(43212XXXXT4)(43213XXXXT（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°，3°有θXEXEXEXETE)]()([31)]()([61)(43211θXEXEXEXETE2)](4)(3)(2)([51)(43212θXEXEXEXETE)]()()()([41)(43213即T1，T2是θ的无偏估计量（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知243211185)]()([91)]()([361)(θXDXDXDXDTD24321241)]()()()([161)(θXDXDXDXDTDD(T1)D(T2)所以T2较为有效。14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（2αznσX），计算得)392.6,608.5()96.196.00.6(,6.0,96.1,0.6025.0即为查表σzX（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（)1(2ntnSXα），计算得0.6X，查表t0.025(8)=2.3060.)442.6,558.5()3060.2333.00.6(.33.064.281)(819122故为iixxS16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。解：σ的置信度为0.95的置信区间为)1.21,4.7()18.2118,535.17118())1()1(,)1()1((2212222nSnnSn其中α=0.05,n=9查表知180.2)8(,535.17)8(2975.02025.0χχ19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为./24,/1821scmxscmx设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为).96.5,04.6()22005.058.22418()(2222121221nnzXX其中α=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20,24,18,05.02122221XXσσ20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为2222,.6065.0,5419.0BABAσσSS设分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比22BAσσ的置信度为0.95的置信区间。解：22BAσσ的置信度为0.95的置信区间))1,1(,)1,1((21212221222nnFSSnnFSSαBAαBA)6065.003.45419.0,03.46065.05419.0(=(0.222,3.601).其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025(9,9)=4.03,03.41)9,9(1)9,9(025.0975.0FF。第八章假设检验1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24。设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25;H1：μ≠3.25（2）选取检验统计量为)1(~25.3ntnSXt（3）H0的拒绝域为|t|≥).1(2ntα（4）n=5,α=0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512iiXXnSx查表t0.005(4)=4.6041,)1(343.0501304.025.3252.3||2nttα（5）故在α=0.01下，接受假设H02．[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比618.0)15(21lω，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α=0.05）H0：μ=0.618H1：μ≠0.6180.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.解：步骤：（1）H0：μ=0.618；H1：μ≠0.618（2）选取检验统计量为)1(~618.0ntnSXt（3）H0的拒绝域为|t|≥).1(2ntα（4）n=20α=0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121niiniixxnSxnx，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22nttntαα（5）故在α=0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ1000。解：步骤：（1）:0Hμ≥1000；H1：μ1000；（σ=100已知）（2）H0的拒绝域为αznσx1000（3）n=25，α=0.05，950x，计算知645.15.225100100005.0zx（4）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6x小时，样本标准差为s=2小