概率论与数理统计答案第六章

60第六章样本及抽样分布1.[一]在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2XPXPNX2.[二]在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1）25541225415412}112{|XPXPXP=2628.0)]25(1[2（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤15}=.2923.0)]21215([1}15{1551iiXP（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－P{min(X1，X2，X3，X4，X5)≥10}=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551iiXP4.[四]设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012iiXP61解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表iiiiiiXPXPχX7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，求E(X),D(X),E(S2).解：由X~π(λ)知E(X)=λ，)(XD∴E(X)=E(X)=λ,D(X)=.)()(,)(2λXDSEnλnXD[六]设总体X~b(1,p)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本。（1）求),,,(21nXXX的分布律；（2）求niiX1的分布律；（3）求E(X),D(X),E(S2).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律为nkiinkkknkkPPiXPinXiXiXP1112211)1(}{},,,{独立=.,,1,10,)1(11nkiPPkininiknkk或（2）niipnbX1),(~(由第三章习题26[二十七]知)（3）E(X)=E(X)=P，)1()()()()(2PPXDSEnPnXDXD[八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本。（1）写出X1，…，X10的联合概率密度（2）写出X的概率密度。解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为222)(10110110121)(),(ixiiiexfxxf2122)(2)2(niixnne（2）由第六章定理一知62X～10),,(2nnσμN即X的概率密度为222)(21)(σμznXenσπzf第七章参数估计1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。解：μ，σ2的矩估计是6122106)(1ˆ,002.74ˆniixXnX621086.6S。2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）其它,0,)()1(cxxcθxfθθ其中c0为已知，θ1，θ为未知参数。（2）.,010,)(1其它xxθxfθ其中θ0，θ为未知参数。（5）ppmxppxXPxmxmx,10,,,2,1,0,)1()(为未知参数。解：（1）XθcθθcθcθcθdxxcθdxxxfXEθθcθθ1,11)()(1令，得cXXθ（2）,1)()(10θθdxxθdxxxfXEθ2)1(,1XXθXθθ得令63（5）E(X)=mp令mp=X，解得mXpˆ3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数1211)()()(θnθnnniixxxcθxfθL0lnln)(ln,ln)1(ln)ln()(ln11niiniixcnnθθdθLdxθcθnθnθLniicnxnθ1lnlnˆ（解唯一故为极大似然估计量）（2）niiθnnniixθθnθLxxxθxfθL112121ln)1()ln(2)(ln,)()()(niiniixnθxθθnθdθLd121)ln(ˆ,0ln2112)(ln。(解唯一)故为极大似然估计量。（5）niniiixmnxnniippxmxmxXPpL11)1(}{)(11，),1ln()(lnln)(ln111pxmnpxpLniiniinimxi01)(ln11pxmnpxdppLdniinii解得mXmnxpnii2，（解唯一）故为极大似然估计量。4．[四(2)]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计X~π(λ)，E(X)=λ，故λˆ=X为矩估计量。64（2）极大似然估计λnnxniiexxxλλxPλLnii!!!);()(2111，λnxλxλLniinii11!lnln)(lnXλnλxλdλLdniiˆ,0)(ln1解得为极大似然估计量。（其中),1,0,!}{);(iλixiixexλxXPλxpi5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为λˆ=X=0.499[四(1)]设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ)2其中θ(0θ1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求θ的矩估计值θθθθθθθθθXE23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(22XθXE23)(令则得到θ的矩估计值为6523121323ˆXθ（2）求θ的最大似然估计值65似然函数}1{}2{}1{}{)(32131XPXPXPxXPθLiii)1(2)1(2522θθθθθθlnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导01165)(lnθθdθLd得到唯一解为65ˆθ8．[九(1)]设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使21121)(σXXcniii为的无偏估计。解：由于11212111211121]))(()(])([])([niiiiiniiiniiiXXEXXDcXXEcXXcE=11112222111)12()02(])()()([niniiiiσncσcEXEXXDXDc当的无偏估计为时21121)(,)1(21niiiXXcnc。[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量)(31)(6143211XXXXT5)432(43212XXXXT4)(43213XXXXT（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以66E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°，3°有θXEXEXEXETE)]()([31)]()([61)(43211θXEXEXEXETE2)](4)(3)(2)([51)(43212θXEXEXEXETE)]()()()([41)(43213即T1，T2是θ的无偏估计量（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知243211185)]()([91)]()([361)(θXDXDXDXDTD24321241)]()()()([161)(θXDXDXDXDTDD(T1)D(T2)所以T2较为有效。14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（2αznσX），计算得)392.6,608.5()96.196.00.6(,6.0,96.1,0.6025.0即为查表σzX（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（)1(2ntnSXα），计算得0.6X，查表t0.025(8)=2.3060.)442.6,558.5()3060.2333.00.6(.33.064.281)(819122故为iixxS16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。解：σ的置信度为0.95的置信区间为67)1.21,4.7()18.2118,535.17118())1()1(,)1()1((2212222nSnnSn其中α=0.05,n=9查表知180.2)8(,535.17)8(2975.02025.0χχ19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为./24,/1821scmxscmx设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为).96.5,04.6()22005.058.22418()(2222121221nnzXX其中α=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20,24,18,05.02122221XXσσ20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为2222,.6065.0,5419.0BABAσσSS设分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比22BAσσ的置信度为0.95的置信区间。解：22BAσσ的置信度为0.95的置信区间))1,1(,)1,1((21212221222nnFSSnnFSSαBAαBA)6065.003.45419.0,03.46065.05419.0(=(0.222,3.601).其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025(9,9)=4.