概率论与数理统计练习与测试第五章南工大应用数学系编苏大版大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计练习与测试第五章（南工大应用数学系编）（苏大版）大数定律与中心极限定理1.设随机变量的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计：5.7||EP的值。解：由契贝雪夫不等式：2}|{|DEP，又已知5.7,5.2D，故044.05.75.2}5.7|{|2EP。2.已知某随机变量的方差D=1，但数学期望E=m未知，为估计m，对进行n次独立观测，得样本观察值1，2，…，n。现用niipmPmnn15.0||1多大时才可能使问当估计，。解：因niimEnE1,1又1，2，…，n相互独立，故niniiinDnnDD1121)(1)1(，根据契贝雪夫不等式，有25.01}5.0|{|DEP，即nmP41}5.0|{|，再由pnpn14,41得。3.设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率mn与开电概率p=0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？解：欲使99.0}01.0|{|pnmP，即99.0}//01.0//|{|npqnpqpnmP，亦即，则t~N(0，1)且有,99.001.0pqntP由58.201.0995.0)58.2(pqn，以p=q=1/2代入可得n=16641。P43T34.用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试验，令表示n次射击击中目标的次数，则服从参数为n，p=0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得nnnnPpnpnppnpnpPP004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{99.0004975.0005.021nn，查表得n≈1791。5.随机变量表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n：PnpD1299%解：记n，由于~B(n，p)，故E=np，E=p，2/nDD。(1)根据契贝雪夫不等式，有2241)2/(1}21|{|21nDDDEPDpnP，为使%99412n，解得20n；(2)以i表示每次试验时A出现的次数，则i服从参数为p的二点分布，且Ei=p，Di=p(1-p)1/4，而niinn1是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知)1,0(~NDE，因此有DpnP21122222/nDDDDDEP，为使6,16.5,99.0122nnn即查表得。P44T56.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：(1)以表示100人中治愈人数，则~b(100,0.8)所求概率为2.08.01008.0100752.08.01008.010075PP8944.025.11；(2)依题~b(100,0.7)则3.07.01007.0100753.07.010070.010075PP1379.08621.0109.11。7.一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。解：定义承机变量.,0,,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第kkk)10000,,2,1(k。则k)10000,,2,1(k是独立同分布的，且756.09.084.0}1{kP，224.0756.01}0{kP。显然100001kk表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。此为n=10000，p=0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{pnpnppnpnppnpnpPP。8.某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。解：令.,0,,1个字未排错第个字排错第iii则500001ii是服从参数n=50000，p=0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得9874.0)24.2()1(101)1(10)1(}10{pnpnppnpnppnpnpPP。9.某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。解：令.,0,,1封邀请信的人不到会接到第封邀请信的人到会接到第iii则i服从参数p=0.8的二项分布。且Ei=0.8，Di=0.16，1501ii表示到会的总人数，则24,120DE，由中心极限定理得241201302412024120110}130110{PP9586.01)04.2(204.2241024120P。P45T710.由题意每次试验对总量不产生影响，设第i次试验Xi=1(长度小于3m)，Xi=0（长度大于3m）X为长度小于3m的总数X=（求和号，1到100）XiE(Xi)=1*0.2+0*0.8=0.2D(Xi)=E(Xi2)-E(Xi)2=0.2-0.04=0.16由独立同分布中心极限定理：X~N(n*u,n*σ2)(近似于)=N(100*0.2,100*0.16)P{X≥30}=1-P{X30}=1-φ[(30-20)/(16)1/2]=1-φ(2.5)=0.0062此题还可看做100重伯努利实验，X~B(100,0.2)E(X)=100*0.2，D(X)=100*0.2*0.8P{X≥30}=(求和号，30到100)二项概率公式由中心极限定理，X分布近似于N（100*0.2,100*0.2*0.8）P{X≥30}=1-P{X30}=1-φ[(30-20)/sqrt(16)]=1-φ(2.5)=0.0062P44T411.某车间有100台车床，每台独立工作，开工率为0.7.开工时每台耗电量为1千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.7%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解：（1）1,正常工作xi=EXi=0.7DXi=0.21(=б^2)注：本文档中sqrt（）代表根号0,不正常工作=~代表约等号P{65100xi75}=~ф((75-70)/sqrt(0.21*100))-ф((65-70)/sqrt(0.21*100))=ф(1.09)-ф(-1.09)=2ф(1.09)-1=0.8621x2-1=0.7242（2）设至少要供给这个车间a千瓦的电力设X为开工的车床数，则X~B(100,0.7),由Laplace中心极限定理知，X~N(70,21)(近似)P(0=X=a)=99.7%P(0=X=a)=~ф((a-70)/sqrt（21）)-ф((0-70)/sqrt（21）)=~ф((a-70)/sqrt（21）)而ф（2.75）=99.7%(a-70)/sqrt（21）=2.75a=82.6021取a=83kw/h所以，……P45T612.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X服从N（50,2.5^2），问最多装多少袋水泥使总重超过2000kg的概率不大于0.05？解：记最多装水泥n袋。每袋重量为Xi,i=1,2,……，n.于是EXi=u=50DXi=б^2=2.5^2另记n袋水泥总重量为Y即Y=niXi1，故有n满足不等式P{Y2000}=0.05的最大正整数所以，Y服从N(50n,(2.5sqrt(n))^2),故有P{Y2000}=~1-ф（(2000-50n)/(2.5sqrt(n))）=0.05=ф（(2000-50n)/(2.5sqrt(n))）=0.95=2000-50n)/(2.5sqrt(n))=1.645=Sqrt(n)=6.2826n=39.4836对n取整，所以，n为39袋。