概率论与数理统计试卷1

《概率论与数理统计》试卷1一、填空（每题3分，共15分）1.设三事件,,ABC的概率为1()()()4PAPBPC，()0PAB，1()()8PBCPAC；则,,ABC至少有一个事件发生的概率为.2.随机变量X的分布律为X0π/2πp1/41/21/4则概率{01}PX；cosYX的分布函数是.3.设()(0)PApp，四次独立试验中事件A至少发生一次的概率为8081，则p.4.设(0,2)XN，(1,4)YN，且X与Y相互独立，则{1}PXY.5.设相互独立的随机变量X、Y具有同一分布律，且X3/23/110，则随机变量min{,}ZXY的分布律为.二、选择题（每题3分，共15分）1.设2(,)XN，则{}PX的值随着的增大而（）.（A）增大（B）减小（C）保持不变（D）增减不定2.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式}6{YXP（）.（A）1/12（B）1/9（C）1/6（D）1/203.设,是相互独立且同分布的随机变量，YX,，则X和Y必然（）.（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为0（D）相关系数为04.设随机变量X的分布密度函数为()fx,且()()fxfx,()Fx是X的分布函数，则对任意实数a，有（）.（A）()()FaFa(B)1()()12FaFa(C)01()()d2aFafxx(D)01()()d2aFafxx5.设随机变量(1,9)XN，921,,XXX为X的样本，X、S分别是样本的均值和样本标准差，则有（）（A）1~(0,1)XN（B）1~(0,1)3XN（C）)1,0(~91NX（D）)1,0(~31NX三、（12分）设总体X的密度函数为1,01()0,01xxfxxx或者其中0是未知参数.试求的矩估计量和最大似然估计量.四、（8分）有一批建筑房屋用的木柱，其中20%的长度小于3米.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有70根不小于3米的概率是多少？（所用数据见附表）五、（8分）设X与Y是两个相互独立的随机变量，X与Y相互独立，都服从2(0,)N分布.求点(,)XY到原点的距离22ZXY的分布密度函数.六、（12分）已知(,)XY在区域D中服从均匀分布，20,20),(yxyxD.(1)写出(,)XY的概率密度函数(,)fxy；(2)计算()EXY和(235)DXY；(3)ZXY，计算{1}PZ.七、（8分）设总体2(,2.5)XN，从中取出容量为9的样本，测得观察值为11x，求总体均值的95%的置信区间.八、（10分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为/41e,0()40,0xxfxx，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.九、（12分）设X服从[0,]上的均匀分布，为未知参数，nXXX,21为X的一个样本，nnnXYXXXX),,,max(21,证明Y的密度函数为：1,01()0,nYnyyfy其它.附表：0.050.0250.001(2.5)0.9938,1.645,1.96,3.10zzz参考答案：一、填空题1.0.52.0.25,0,11/4,103/4,011,1xxxx3.234.0.55.015/94/9二、选择题1.C2.B3.D4.D5.A三、解：（1）11110()dd1xfxxxxxAX所以的矩估计量为XX1（2）X的似然函数为：11111212121(,,)()()()()nnnnniiLxxxfxfxfxxxxxniixnL1)ln()1(lnln111dlnln()0dln()ln()niinniiiiLnxnnxx，即1ln()niinX为X的极大似然估计量.四、解：设X为100根木柱中长度不小于3米的根数，则(100,0.8)Xb.所求的概率为{70}PX由中心极限定理知，2.08.01008.0100X近似服从标准正态分布(0,1)N，因而有{70}PX807080{}1(2.5)(2.5)0.9938416XP五、解：(,)XY的联合分布密度为222221(,)e,,2xyfxyxyZ的分布函数为2222222222222222222π2222002(){}{}{}11(,)ddeddded2π2π1e0xyrzxyzxyzzFzPZzPXYzPXYzfxyxyxyrrzZ的分布密度为2222()()e0zzfzFzz六、解：（1）1/4,(,)(,)0,(,)xyDfxyxyD（2）201/4d1/2,02()(,)d0,Xyxfxfxyy其它同理1/2,02()0,Yxfy其它都是[0,2]上的均匀分布，因此()(=1EXEY），1()()=3DXDY，∵)()(),(yfxfyxfYX∴X与Y相互独立.()=()()0EXYEXEY，13(235)4()9()3DXYDXDY（3）11100(1)(,)dd1/4dd1/8xxyPZfxyxyxy七、解：的置信区间为[nzXnzX2/2/,]而9n，11x,2.5,0.05，96.1025.02/zz[nzXnzX2/2/,]=2.52.5[111.96,111.96]33=[9.367,12.633]八、解：设Y表示出售一台设备的净赢利，则当)1(XP时，300Y；当)1(XP时，Y=100.而11/41/401(1)()ded1e4xPXfxxx；)1(XP=1/4e1/41/41/4()100e(300)(1e)400e300EY九、证明：12(){}{}{}{}{}nYnnXFyPyPXyPXyPXyPXy由于X服从[0,]上的均匀分布，故分布函数为：0,0(),01,xxFxxx于是()[()]nYFyFy因此1,01()0,nYnyyfy其它