概率论与数理统计试卷及答案(2012)

1华中师范大学2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》期（末）（A）试卷附：本试卷中可能用到的数据1)(u的分位数u；((4)(4))Ptt的分位数(4)t表1表20.050.0250.020.050.025u1.6451.9602.054326(4)t2.13182.77642一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共18分)1.设随机变量X的概率密度为2(1)61()6xfxe，则X～（C）A．(1,1)NB．(1,2)NC．(1,3)ND．(1,4)N2．设袋中有4只白球，2只黑球，从袋中不放回任取2只球，则取得2只白球的概率是（B）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/53.甲、乙、丙3人独立地译出一种密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，则能译出这种密码的概率为（C）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/54.设两个独立随机变量,XY的方差分别为4与2，则随机变量32XY的方差是.（D）A.8B.16C.28D.445．设随机变量X～(0,4)N，Y～(1,4)N，且X与Y相互独立，则XY服从(C)分布.A.(1,0)NB.(1,32)NC.(1,8)ND.(1,8)N26．设随机变量2(,1),()XNYn，又,XY独立，令XTnY，则下列结论正确的是（B）A.(1)TtnB.()TtnC.(0,1)TND.(1,)TFn二、（10分）某仓库有同样规格的产品12箱，其中有6箱、4箱、2箱分别是由甲、乙、丙3个工厂生产的，3个厂的次品率分别为1/10,1/14,1/18。现从仓库中任取1件产品，求取得的1件产品是次品的概率(结果要求用小数表示，精确到小数点后面3位)。【解】设A=“取得的产品是次品”，B1=“产品由甲工厂生产”，B2=“产品由乙工厂生产”，B3=“产品由丙工厂生产”。则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=1/21/10+1/31/14+1/61/18=0.083三、（12分）一批产品中有20%的次品，对其进行独立重复抽样检查，共取4件样品。计算：（1）这4件样品中恰好有2件次品的概率1P；（2）这4件样品中至多有1件次品的概率2P。【解】每次抽到次品的概率015P。（1）222221400(1)6(1/5)(4/5)96/625PCPP0.1536（2）41320400(1)(1)512/625PPCPP0.8192四、（10分）设随机变量),(YX的联合分布律为YX012-10.10.20.200.100.110.10.203求(),(),(),(),(,)EXEYDXDYCovXY【解】边缘概率分布分别为X-101Y012概率0.50.20.3概率0.30.40.3E(X)=-1x0.5+0x0.2+1x0.3=-0.2;E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1;E(X2)=1x0.5+0x0.2+1x0.3=0.8,D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.76;E(Y2)=0x0.3+1x0.4+4x0.3=1.6,D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=0.6;E(XY)=-1x0.2-2x0.2+1x0.2=-0.4Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.2五、（10分）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中一次性取出3只，X表示取出的3只球的最大号码。求X的分布列。【解】33351(3)10CPXC，23353(4)10CPXC，243563(5)105CPXC，所以X的分布列为X345概率1/103/103/5六、（10分）100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求任一时刻有70台至86台车床工作的概率（要求用中心极限定理求解。已知：(1.5)=0.9332，(2.5)=0.9938）【解】记1,0iiXi第台车床工作，第台车床不工作，1001iiXX，则()0.8,()0.20.80.16iiEXDX.于是()80,()16EXDX，X近似服从(80,16)N。从而470-80808680(7086)()444(1.5)2.5=0.9332-(1-0.9938)=0.927XPXP（-）七、（10分）设总体X的概率密度为2232,1(;)(1)0,xfxx其他求的矩估计。【解】222322112212()(1)(1)1EXxdxdxxx。以X代替()EX解得^2XX。八、（10分）设两总体,XY独立，12(,64),(,36)XNYN，从X中抽取容量为75的样本，从Y中抽取容量为50的样本，算得82,76XY。试求12的置信度为0.96的双侧置信区间。【解】10.96,0.04，0.0222.054uu，12的置信度为0.96的双侧置信区间为2212122()XYunn。其中，82866XY，122212264362.0542.587550unn，所以12的置信度为0.96的双侧置信区间为(62.58,62.58)(3.42,8.58)5九、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布2(4.55,)N。为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比是否改变，测试了5个产品，它们含硫量的百分比分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37试在下列两种情形下分别检验01:4.55,:4.55HH，其中显著性水平0.05。假定方差始终保持不变。（1）已知220.01;(2)未知【解】经计算24.364,0.00293xs（1）20.01。拒绝域为0.025|4.55|{|},0.1xWxnu其中0.0251.96u。将4.364x，5n，代入得到|4.55|4.1591.960.1xn所以拒绝0H，即认为含硫量发生变化。（2）2未知。拒绝域为0.025|4.55|{|(1)},xWxntns其中0.025(4)2.7764t。将24.364,0.00293xs，5n，代入得到|4.55|7.6842.7764xns，所以拒绝0H，即认为含硫量发生变化。