概率论与数理统计试题(含答案)

《概率论与数理统计》试卷A卷第1页共4页第一部分基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1.事件表达式AB的意思是()(A)事件A与事件B同时发生(B)事件A发生但事件B不发生(C)事件B发生但事件A不发生(D)事件A与事件B至少有一件发生答：选D，根据AB的定义可知。2.假设事件A与事件B互为对立，则事件AB()(A)是不可能事件(B)是可能事件(C)发生的概率为1(D)是必然事件答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3.已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从()(A)自由度为1的2分布(B)自由度为2的2分布(C)自由度为1的F分布(D)自由度为2的F分布答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的2分布。4.已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(2,1),则()(A)X+Y~P(4)(B)X+Y~U(2,4)(C)X+Y~N(0,5)(D)X+Y~N(0,3)答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有X+Y~N(0,5)。5.样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=,D(X)=2,则有()(A)X1+X2+X3是的无偏估计(B)1233XXX是的无偏估计(C)22X是2的无偏估计(D)21233XXX是2的无偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6.随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为()(A)2(B)3(C)3.5(D)4答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上）1.已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.3,则P(AB)=__________答：填0.18,由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216,则至少一人中的概率就是10.216=0.784。3.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____答：填0.25或14，由古典概型计算得所求概率为31053210.254C。4.已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.xxXfxxx其它则P{X1.5}=_______答：填0.875，因P{X1.5}1.50()d0.875fxx。《概率论与数理统计》试卷A卷第2页共4页5.假设X~B(5,0.5)(二项分布),Y~N(2,36),则E(X+Y)=__________答：填4.5，因E(X)=50.5=2.5,E(Y)=2,E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56.一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33,D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有()()(|)()(|)211150.417323412PBPAPBAPAPBA四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X+1，求Y的概率密度函数。（10分）解：已知X的概率密度函数为1,01,()0,.Xxfx其它Y的分布函数FY(y)为11(){}{21}{}22YXyyFyPYyPXyPXF因此Y的概率密度函数为1,13,11()()2220,.YYXyyfyFyf其它五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：YX11210.10.20.320.20.10.1(1)试求X和Y的边缘分布率(2)试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数XY(满分10分)解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：X12p0.60.4将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：Y112p0.30.30.4(2)E(X)10.6+20.4=0.2,E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)[E(X)]2=2.20.04=2.16E(Y)10.3+10.3+20.4=0.8,E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)=E(Y2)[E(Y)]2=2.20.64=1.56E(XY)=(1)(1)0.1+(1)10.2+(1)20.3+2(1)0.2+210.1+220.1==0.10.20.60.4+0.2+0.40.5cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)0.50.160.66《概率论与数理统计》试卷A卷第3页共4页cov(,)0.660.660.361.836()()2.161.56XYXYDXDY六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。(满分10分)解：已知样本均值1950x,样本标准差s=300,自由度为151=14,查t分布表得t0.025(14)=2.1448,算出0.0252.1448300(14)166.13.87315st,因此平均使用寿命的置信区间为166.1x，即(1784,2116)。附：标准正态分布函数表221()ed2uxxu(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t分布表P{t(n)tn)}=N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.1199第二部分附加题附加题1设总体X的概率密度为(1),01,(;)0,,xxfx其它其中1为未知参数，又设x1,x2,,xn是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。（满分15分）解：似然函数1(1)nniiLx11lnln(1)lndlnlnd(1)niiniiLnxLnx令dln0dL，解出的最大似然估计值为1ˆ1lnniinx《概率论与数理统计》试卷A卷第4页共4页附加题2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分）YXy1y2y3P{X=xi}=ipx118x218P{Y=yj}=jp161解：已知X与Y独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),经简单四则运算，可得YXy1y2y3P{X=xi}=ipx11241811214x218381434P{Y=yj}=jp1612131