概率数理统计第一章练习

1第一章习题课1.设事件A、B、C两两互不相容，P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(C)=0.4.求P{(A∪B)－C}.解：A、B、C两两互不相容，AC，BC，P{AB}=0.P{(A∪B)－C}＝P{(A∪B)∩C}＝P{(AC)∪(BC)}=P(AC)+P(BC)－P{ABC}=P(A)+P(B)=0.5.2.设A,B为随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(A－B)=0.3，求：P(AB)；P(B－A)；)(AB.解：P(AB)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A－B)=0.7－0.3=0.4P(BA)=P(B)P(AB)=0.50.4=0.132)(1)]()()([1)()()()()(APABPBPAPAPBAPAPBAPAB3.证明：(1)P(A/B)+P(A/B)=1(2)A与B相互独立的充要条件是P(A/B)=P(A/B)证明：(1)∵P(A/B)+P(A/B)=)()(BPABP+)()(BPBAP=)()(BPBP=1(2)“”∵A与B相互独立，∴P(A/B)=)()(BPABP=)()()(BPBPAP=P(A)P(A/B)=)()(BPBAP=)()()(BPBPAP=P(A)∴P(A/B)=P(A/B)“”∵P(A/B)=P(A/B)∴P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)［P(B)+P(B)］P(A/B)=P(B)［P(AB)+P(B)P(A/B)］=P(B)［P(AB)+P(AB)］=P(B)P(A)∴A与B相互独立。4.证明：若P(A)=a，P(B)=b则：P(B/A)≥(a+b1)/b证明：)()()/APABPABP（)()()()(APBAPBPAPaba15.设A、B为两个事件，试证明：41)()()(BPAPABP证明：因为:(AB)∪(AB)∪(BA)=A∪B且AB、AB、BA两两互不相容.所以:P(AB)P(A)P(B)=P(AB)[P(AB)+P(AB)][P(AB)+P(BA)](展开得)=P(AB)[1P(AB)P(AB)P(BA)]P(AB)P(BA)=P(AB)[1P(A∪B)]P(AB)P(BA)≥P(AB)P(BA)∵0P(BA)=1P(BA)=1)(BAP1)(BAP∴P(AB)P(A)P(B)≥P(AB)[1P(AB)]=[2))(21(41BAP]≥41另一方面，不妨设P(A)≥P(B),则：2P(AB)P(A)P(B)≤P(B)P(A)P(B)≤P(B)P(B)P(B)=P(B)[1P(B)]≤41.所以:41)()()(BPAPABP6．设A发生的概率为p,B发生的概率为q；A与B至少发生一个的概率为r。求A发生但B不发生的概率.解：以题意：P(A)=p,P(B)=q,P(A∪B)=r∴A发生但B不发生的概率为：P(A–B)=)(BAP)BA(P)B(P)()(BAPBP=1p(1r)=rq.7.10个人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求此对夫妇正好坐在一起的概率。解：设A为“此对夫妇正好坐在一起”。方法①.10个人随机坐在一张圆桌周围,共有10!种方法.先考虑此对夫妇男左女右坐在一起：把相邻的两个座位看成一个特号座，有10种情况。夫妇俩只能坐在特号座，其他8人共有8!种坐法.同理再考虑男右女左的坐法.所以:92!10!8102)(AP方法②.只考虑夫妇俩人。夫妇俩人随机坐有210P种坐法.把座位按1~10排号，夫妇相邻女坐男右侧有10种坐法：男坐：1，2，3，…，9，10；女坐2，3，…，10，1；同理再考虑女坐男左侧也有10种坐法，共有20种坐法.所以:9220)(210PAP方法③.假设夫妇中一人坐定，考虑另一人(不妨设是女).此人随机坐,有9种坐法,若要求夫妇相邻,她只能坐在男方的左右两个位置.所以:92)(AP注意:古典概型计算技巧较高,一般只要求掌握一些最基本的计算方法.8.现有N间房，n个人(n≤N)，每个人等可能的分配到每一间房。求下列事件的概率：(1)指定的n间房中各有一个人。(2)每个人占一间房。(3)指定的某间房中有m(m≤n)个人。解：分析：因每个人有N种分配方法，故把n个人分到N间房共有Nn种方法，即样本空间有Nn个基本事件。设：A为”指定的n间房中各有一个人”,A包含n!个基本事件.B为”每人占一间房”,B包含nNP个基本事件。C为”指定的一间房内有m人”。所以：(1).P(A)=nNn!(2).P(B)=nnNNP(5).对于每一个人有两种可能，或住进指定房间或者不住进指定房间，每分配一个人是一次试验，又各人是否住进指定房间相互独立，故是贝努里概型。指定房间有m人相当于在n重贝努里试验中，“住进指定房间”恰发生m次。P(C)=mnmmnNNC1119.从0，1，2…9中随机取4个数(可重复)，求下列事件的概率：(1)事件A：取出的4个数构成4位奇数。(2)事件B：取出的4个数构成4位数，且各位数字均不同。(3)事件C：取出的4个数中，0恰出现2次。(4)事件D：取出的4个数中，0至少出1次。3解：因取出的数可重复且有顺序故样本空间含有104个基本事件。(1)要组成奇数，个位数必为1，3，5，7，9之一。要组成4位数，则千位数不能取零，十位和百位可从0，1，2，…9中任取一个。∴P(A)=4152191010CC=0.45(2)要使取出的4个数成4位数，且各位数字均不同,则千位数只能从1，2，9中取1个，后3位只能从余下的9数中取出的3个不同数，且要考虑顺序。P(B)=4391910PC=0.4536(3)要使取出的4个数中，0恰出现2次,任取两个位置放零,另两个位置只能从1，2，9中取出的2个不同数，且要考虑顺序。P(C)=4224109C=0.0486(4)要使取出的4个数中，0至少出1次,考虑对立事件简单.而其对立事件为,取出的4个数中不含零.P(D)=1P(D)=441091=0.343910.某人外出旅游两天。据天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：(1).第一天下雨第二天不下雨的概率。(2).第一天不下雨第二天下雨的概率。(3).至少有一天下雨的概率。(4).两天都不下雨的概率。(5).至少有一天不下雨的概率。解：设Ai表示事件第i天下雨,i=1,2.则:P(A1)=0.6;P(A2)=0.3;P(A1A2)=0.1;(1).设B表示第一天下雨第二天不下雨;因为:B=21AA=A1A1A2,且:A1A1A2.所以:P(B)=P(A1A1A2)=P(A1)P(A1A2)=0.60.1=0.5(2).设C表示第一天不下雨第二天下雨.同(1):P(B)=P(A2A1A2)=P(A2)P(A1A2)=0.30.1=0.2(3).设D表示至少有一天下雨.则:D=A1∪A2.P(D)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)=0.6+0.30.1=0.8(4).设E表示两天都不下雨.则:E=2121AAAAP(E)=P()()2121AAPAA=1P(A1∪A2)=1P(D)=0.2(5).设F表示至少有一天不下雨.则:F=21AAP(F)=P(21AA)=1P(A1A2)=10.1=0.9注意:35、36两题说明分析事件间的关系是解题的关键.11.某宾馆一楼有3部电梯，今有5人要乘坐电梯，假定各人选哪部电梯是随机的，求：每部电梯中至少有一人的概率。解：(从对立事件考虑)设Ai表示“第i部电梯内无人”，i=1，2，3。W表示“每部电梯中至少有一人”。W表示“至少一部电梯中无人”。4于是:P(Ai)=5553232;i=1，2，3；P(AiAj)=531i,j=1,2,3;i≠j；P(A1A2A3)=0P(W)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3)38.0031332355P(W)=1P(W)=10.38=0.6212.举例说明：(1)A、B、C两两独立，但A、B、C不相互独立。(2)P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但A、B、C不相互独立。解：(1)一个均匀正四面体，其第一面染成白色，第二面染成兰色，第三面染成红色，第四面分成3块，分别染成红、白、兰色。投一次4面体，以A、B、C分别表示出现红、白、兰色。因4面体有两个面有红色。故P(A)=21；同理：P(B)=P(C)=21∵只有一个面含有两种颜色，∴P(AB)=P(AC)=P(BC)=41∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)∴A、B、C两两独立。但是P(ABC)=41≠P(A)P(B)P(C)=81故A、B、C不是相互独立。(2)一均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1，2，3，5染白色，第1，6，7，8面染兰色投一次八面体，以A、B、C分别表示出现红、白、兰色的事件。则：P(A)=P(B)=P(C)=2184∵只有第一个面含有三种颜色。∴P(ABC)=81=P(A)·P(B)·P(C)而P(AB)=4183=P(A)P(B)故A、B、C不相互独立。13．为防止意外，在矿内同时设置两种警报系统A与B，两系统单独使用时有效率分别为0.92和0.93，在A失灵条件下B有效的概率为0.85，求:(1).发生意外时两种警报系统至少一个有效的概率。(2).在B失灵条件下A有效的概率.解：设A、B分别表示报警系统A与B有效(1)P(A∪B)=1P(BA)=1P(BA)因为:)/(1)/(ABPABP,所以:P(A∪B)=1)/()(ABPAP=1(10.92)(10.85)=0.988(2)P(A/B)=P(AB)/P(B)而P(AB)=P(A∪B)P(B)=0.9880.93=0.058∴P(A/B)=93.01058.0≈0.8285714.排球竞赛规则规定：发球方赢球时得分，输球时被对方赢回发球权。甲、乙两个排球队进行比赛，已知甲队发球时赢球和输球的概率分别为0.4和0.6；乙队发球时甲队赢球和输球的概率均为0.5；无论哪一个队先发球，比赛到任意队得分时为止。求当甲队发球时各队得分的概率。解：设A表示“甲队发球时，甲队先得分”；B表示“甲队发球时，乙队先得分”；Ai表示“甲队第i次发球时，甲队得分”；Bi表示“乙队第i次发球时，乙队得分”；由已知：P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5)()(322112111ABABAABAAA5)()()()(322112111ABABAPABAPAPAP=0.4+0.60.50.4+0.60.50.60.50.4+=0.4[1+(0.3)+(0.3)2+]=0.4743.011P(B)=1P(A)=7315.设每次试验中A发生的概率为0，在n次独立重复实验中，事件A至少发生一次的概率记为pn,求nnplim.解:因为在n次独立重复的贝努力试验中,A都不发生的概率为:P(A一次也不发生)=nnnC)1()1(00所以:pn=P(A至少发生一次)=1P(A一次也不发生)=1n)1(于是:1])1(1[limlimnnnnp此例说明,即使A事件的概率很小(称为小概率事件),也不能掉以轻心,一个看似可能性很小事件,在大量重复试验下,它发生的概率就会很大.16.对某种药物的疗效进行研究,假设这种药对某种疾病的治愈率p0=0.8,现在10个患此病的病人同时服用此药,求至少有6个人治愈的概率.解:设X为10个病人服用此药后治愈的人数