概率论与数理统计试题及答案

一.选择题（18分，每题3分）1.如果1)()(BPAP，则事件A与B必定（）)(A独立；)(B不独立；)(C相容；)(D不相容.2.已知人的血型为O、A、B、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。现任选4人，则4人血型全不相同的概率为：（）)(A0.0024；)(B40024.0；)(C0.24；)(D224.0.3.设~),(YX.,0,1,/1),(22他其yxyxf则X与Y为（）)(A独立同分布的随机变量；)(B独立不同分布的随机变量；)(C不独立同分布的随机变量；)(D不独立也不同分布的随机变量.4.某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数学期望与方差分别为（）)(A4934与；)(B16934与；)(C4941与；(D)9434与．5.设321,,XXX是取自N(,)1的样本，以下的四个估计量中最有效的是（）)(A32112110351ˆXXX；)(B3212949231ˆXXX；)(C3213216131ˆXXX；)(D32141254131ˆXXX．6.检验假设222201:10,:10HH时，取统计量)(~10)(22212nXini，其拒域为（1.0）（）)(A)(21.02n；)(B)(21.02n；)(C)(205.02n；)(D)(205.02n.二.填空题（15分，每题3分）1.已知事件A，B有概率4.0)(AP，5.0)(BP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP．2.设随机变量X的分布律为cba4.01.02.04321，则常数cba,,应满足的条件为.3.已知二维随机变量),(YX的联合分布函数为),(yxF，试用),(yxF表示概率),(bYaXP.4.设随机变量)2,2(~UX，Y表示作独立重复m次试验中事件)0(X发生的次数，则)(YE，)(YD.5．设),,,(21nXXX是从正态总体),(~2NX中抽取的样本，则概率)76.1)(37.0(222012012XXPii.5.设nXXX,,,21为正态总体),(2N（2未知）的一个样本，则的置信度为1－的单侧置信区间的下限为.三.计算题（54分，每题9分）1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。2．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为1,02,max{0,1}min{1,}(,)0,xxyxfxyotherwise求：边缘密度函数(),()XYfxfy.3.已知随机变量X与Z相互独立，且)1,0(~UX,)2.0,0(~UZ，ZXY，试求：(),(),XYEYDY.4.学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。5.设总体X的概率密度为)1,0(,0)1,0(,)1(),(xxxxf1为未知参数.已知12,,,nXXX是取自总体X的一个样本。求：(1)未知参数的矩估计量；(2)未知参数的极大似然估计量；(3))(XE的极大似然估计量6.为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有5位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积，得如下数据（单位：2km）1.231.221.201.261.23设测量误差服从正态分布.试检验（0.05）（1）以前认为这块绿地的面积是1.232km，是否有必要修改以前的结果？（2）若要求这次测量的标准差不超过0.015，能否认为这次测量的标准差显著偏大？四.证明题（6分）设12,,,,nXXX是相互独立且都服从区间],0[上的均匀分布的随机变量序列，令1max{}niinYX，证明1)(limnnYP.五．是非题（7分，每题1分）1.设样本空间4321,,,，事件431,,A，则75.0)(AP.（）2.设n次独立重复试验中，事件A出现的次数为X，则5n次独立重复试验中，事件A出现的次数未必为5X.（）3．设a,b为常数，F(x)是随机变量X的分布函数.若F(a)F(b),则ab.（）4.若随机变量)5.0;1,0;1,0(~),(NYX，则)1,0(~NYX（）5.)()()(YEXEXYE是X与Y相互独立的必要而非充分的条件.（）6.若随机变量),(~mmFX，则概率)1(XP的值与自然数m无关.（）7．置信度1确定以后，参数的置信区间是唯一的.（）附分布数值表99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(0150.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0tttt711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0一.选择题（15分，每题3分）[方括弧内为B卷答案]CACAD..[ADBCA]二.填空题（18分，每题3分）1.62.0[84.0]；2..0,4.0,1.0,3.0cbacba且[0,3.0,2.0,4.0cbacab且]；3.),(),(),(1bFaFbaF[)22,(),6()22,6(1FFF]；4.4/,2/mm[4/,2/nn]；5.985.0[)1(mtmSX]；6.)1(ntnSX[98.0].五.是非题（7分，每题1分）非非是是是是非.[是非是非非非是]三.计算题（54分，每题9分）1．解：令A={抽出一球为白球}，tB={盒子中有t个白球}，12,,2,1,0t.由已知条件，131)(tBP，12)(tBAPt,12,,2,1,0t，[111)(tBP,10)(tBAPt,10,,2,1,0t]（3分）由全概率公式，12012012131)()()(tttttBAPBPAP,[10010111)(ttAP]（3分）由Bayes公式，132)()()()(12012131131121212ttAPBAPBPABP.[112)(10ABP](3分)2.解：,01()2,120,Xxxfxxxotherwise[1,[0,1]()0,[0,1]Xxfxx（4分）]（5分）1,[0,1]()0,[0,1]Yyfyy[,01()2,120,Yyyfyyyotherwise（5分）]（4分）3．解：11111(),()()()222020EXEYEXEZ（3分）cov(,)(())()()1()12XYEXXZEXEXZDX11101()()()()1212001200DYDXZDXDZ[15013]（3分）1100121011101121200XY[2625]（3分）4．解：设iX为第i盒的价格(1,2,,200.)i，则总价2001iiXX（1分）()4.6,()0.19iiEXDX（2分）2001()()2004.6920iiEXEX.2001()()2000.1938iiDXDX.（2分）910920()930920(910930)()38()38102()12(1.622)120.947410.894838XEXPXPDX[8064.01)298.1(2)928912(XP]（4分）5．解：（1）矩估计量12ˆ1XX[ˆ1XX]（3分）（2）极大似然估计量11ˆ11lnniiXn[11ˆ1lnniiXn]（3分）（3）)(XE的极大似然估计量niinXXE11ln112ˆ1ˆ)(ˆ[1ln11ˆˆ)(ˆ11niinXXE]（3分）7.解：（1）假设01:1.23;:1.23HH.[01:1.20;:1.20HH]（1分）当0H为真，检验统计量)1(~/0ntnSXT（3分）0.0252(1)(4)2.7764tnt，拒绝域(,2.7764][2.7764,)W（3分）221.246,0.0288xs，[221.23,0.0224xs]01.242TW，接受0H.[WT571.30，拒绝0H]（2分）（2）假设222201:0.015;:0.015HH.（1分）当0H为真，检验统计量)1(~)1(22022nSn（3分）220.05(1)(4)9.488n，拒绝域[9.488,)W.（3分）2014.86W，拒绝0H.（2分）四．证明题证：],0[,0],0[,/1)(~xxxfXi0,0(),01,1xxFxxx1max{}niinYX的密度为1,[0,]()0,[0,]nnnYnyyfxy（3分）011||00(||)()(1)0,nnnnnynnnnynyPYdydyasn即0)(limnnYP，所以1)(limnnYP.（3分）