概率论中几种常用的重要的分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。关键词1一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即(0－1)分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数——一维随机变数。定义1.1设X为一个随机变数，令()([(,)])([]),()FxPXxPXxx.这样规定的函数()Fx的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X的分布函数。有的随机函数X可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,aa使得12([{,,...}])1PXaa称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。（1）X可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a,使([])1PXa。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a来确定。（2）X可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a，b，使([{,}])1PXab.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])PXbp，那么，([])1PXap。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,ab及一个在区间（0,1）内的值p来确定。特殊地，当,ab依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p来确定。（3）X可能取的值只有n个：12,...,aa（这些值互不相同），且，取每个ia值得概率都是1n，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布可以用一个正整数n及n个不同的常数12,...,aa来确定。定义1.2若随机变量X的概率分布为{0}1,{1}PXpPXp其中01p，则称X服从参数为p的（0-1）分布。（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。定义1.3若随机变量X的概率分布为(){}(1),0,1,...,kknknXkCppkn其中1n为正整数，01p，则称X服从参数为,np的二项分布，记作~(,)XBnp由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n重伯努利试验中发生的概率为p.在研究某事件A发生的概率时，我们对事件A所在的试验进行独立重复观察，统计出事件A发生的次数n。这里n是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。在二项分布中，如果1n，那么只能取0或1，这是显然有01pp，1pp也可以表示成01ip1pp这个分布就是上面介绍的（0-1）分布，它是二项分布的特例。在讨论抛掷均匀硬币的例子中，随机变量的分布列为01ip1212它就是（0-1）分布当12p时的特例。定义1.4若随机变量X的概率分布为{},0,1,2,...!kPXkekk其中0为常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作~()XP.泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当n很大时，p很小，np适中时，(,)Bnp分布就近似于()P分布，其中np。由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。。定理1.1（泊松定理）在n重贝努力试验中，事件A在一次实验中出现的概率为np（与实验总数n有关），如果当n时，nnp（0常数），则有lim(;,),0,1,2,...!knnbknpekk证明记nnnp，则(;,)(1)knknnnnbknpppk(1)...(1)1!knknnnnnkknn12111...11!nkknnkknnnn对于任一固定的k，显然有limkknnlim1lim1nnnnknknnnnnenn还有11lim1...11nknn从而lim(;,)!knnbknpek对任意k（0,1,2,...k）成立，定理得证。2连续性随机变量分布以上对离散型随机变量做了一些研究，下面将要研究另一类十分重要而且常见的随机变量——连续型随机变量定义2.1若()是随机变量，()Fx是它的分布函数，如果存在函数()px，使对任意的，有()()xFxpydy则称()对连续型随机变量，相应的()Fx为连续型分布函数，同时称()px是()Fx的概率密度函数或简称为密度。由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数()px必具有下述性质：（1）()0px（2）()1pxdx定义2.2若随机变量X的概率分布为2()221(),(,(0))2xaxea都是常数为密度连续型分布，称这种分布为正态分布,记作2~(,)XNa下面验证()x是一个密度函数。因为这时为显然，此外还可以验证有22()21()12xxdxedx为此，可令xy，则222()221122xyedxedy这时有2222222222112212yxyxyedyedxedyedxdy现在作坐标变换cossinxryr这时，变换的雅可比式Jr，而222201rrerdre所以有2222220011122yredyerdrd于是()1xdx这说明给出的的确是一个密度函数，这个密度函数成为正态密度。正态分布是德国数学家和天文学家棣莫弗于1733年在求二项分布的渐进公式时得到的．棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理表明正态分布是二项分布的极限分布．正态分布2()N，的密度函数曲线是钟型曲线，它的“钟型”特征与实际中很多随机变“中间大，两头小”的分布规律相吻合．人的各种生理指标，一个班的一次考试成绩，测量的误差等均服从或近似服从正态分布．在许多实际问题中，遇到的随机变数是受到许多互不相干扰的随机因素的影响的，而每个个别因素的影响都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的。例如，电灯泡的耐用时数（寿命）受到原料，工艺，保管条件等因素的随机变动的影响，而这些因素的波动在正常情况下是互不干扰的，且，每一个都不起决定性作用，又，可以认为是可以叠加的。在概率论的极限理论中可以证明：具有上述特点的随机变数一般都可以认为服从正态分布。二项分布，泊松分布和正态分布（或称高斯分布）时概率论中最重要的分布，在实际理论中有着广泛的应用。本文从三中分布的区别与联系出发，采用实例计算及比较方法，以达到较准确选择合适的分布解决实际问题为目的，对三种分布进行进一步探讨。一、三种分布的区别1.定义不同:以每个分布的定义为切入点,阐明定义特征。二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)和正态分布N(μ,σ2)的分布规律分别由它们的参数确定,并且三种分布的数字特征均值及方差是用不同的参数来描述。因此,区别参数的意义是深刻理解定义的关键。2.随机变量的取值范围不同:二项分布的随机变量取值是有限个,泊松分布的随机变量取值是无穷可列,它们属于离散型的。正态分布的随机变量取值无穷不可列,充满某一区间,属于连续型的。3.适用的条件不同:二项分布用于描述只有“成功”与“失败”两种试验结果的数学模型。例如:某个学生做n道数学题,每道题的结果只有“对”与“错”,若每题做对的概率已知,则可利用二项分布求出做对k道题的概率;泊松分布适用于描绘大量重复试验中稀有事件(飞机意外坠落、高楼突然倒塌等);正态分布用于一个随机变量由大量相互独立的偶然因素之和构成,每个因素所起的作用对总的来说很微小。例如:某校2002级3000名学生的数学考试分数,受每个学生考分的影响,但每个学生的考试分数对总的分数影响不大,所以,考试分数服从正态分布。二、三种分布之间的联系尽管三种分布有许多不同点,但它们之间还有着相互的联系。在n次贝努力试验中,二项分布的极限是泊松分布,我们可以用二项分布逼近泊松分布。反之,也可以用泊松分布近似具有较大n的二项分布,即若已知泊松分布P(λ),可用二项分布B(n,λ/n)去逼近它;若已知二项分布B(n,p),可用泊松分布P(λ)近似二项分布,其理论根据是近似公式:()(1)!kkknkneCpp（1）这里要求n较大，p较小，np。正态分布是二项分布的极限分布，当n较大时，可用正态分布近似二项分布，其近似公式为：()1(1)(1)(1)kknknknpCppnppnpp（2）若~(,)nBnp，则有2112{}()()(1)(1)nknpknpPkknppnpp（3）从上面可以看到，泊松分布和正态分布都是二项分布的极限分布，在满足一定条件下都能近似二项分布。在实际中，利用这种关系有时能够带来很多方便，从而简化计算。三、三种分布在实际中的应用三种分布在实际中有广泛的应用。二项分布适用于抽查产品、能量供应、药效试验、保险公司估计利润等;泊松分布用于公共汽车站来到的乘客数、电话总机在一段时间内收到的呼唤次数、运输损耗等;正态分布用于年平均气温和降雨量、测量误差、发电站电能消耗、人的身高和体重等。在日常生活、生产实际和科学研究中,怎样利用三种分布的特点及联系,简单准确计算出所求事件的概率呢?下面通过实际例子说明这一问题。例如:某大城市有一个繁忙的交通岗,若每天有100000人通过,每人出事故的概率为0.0001,求该天出事故的人数X不超过2人的概率。解法一：显然~(1000000,0.0001)XB,利用二项分布得{2}PX=0.00276849这里n较大，p较小，直接用二项分布计算比较麻烦。解法二：用泊松分布近似二项分布的方法计算，代入公式（1）得102010{2}0.002769!kKePXk这里10np，直接查泊松分布表求出，产生的误差为75.110。由此可见，当n较大时，p较小时，泊松分布近似二项分布，其近似程度非常好，而且计算简单。解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布的方法计算，由近似公式（3）得{2}(2.53)(3.16)0..00501PX这里直接查标准正态分布的分布函数表求得，其误差为0.00224151，这比用泊松分布产生的误差要大。在实际中，用二项分布计算量较大时，一般满足0.10.9,(1)3pnpp的条件下，采用正态分布近似二项分布的方法，较为方便准确有效。解法四：用正态分布的密度函数近似二项分布的计算方法，近似公式（2）得1{2}[(3.16)(2.85)(2.53)]0.00819079.999PX这里通过查标准正态分布的密度函数表直接求出，产生的误差为0.00542221，其误差比上面的两种近似求值所产生的误差都大。所以，在实际中，当p不太接近0或1，n不太小，随机变