概率论习题及答案

一．填空题1．已知41)(AP,31)(ABP,21)(BAP,则)(BAP31。2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为73482325CCC；3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X的概率分布为,2,1,5.05.05.0)(1kkXPkk，X服从分布)5.0(G。4．设随机变量X的密度函数为1,01,)(2xxxcxp，则常数c1，X的分布函数)(xF1,111,0xxx。5．设随机变量X的密度函数为其他,010,2)(xxxpX，则随机变量2XY的密度函数)(ypY其它,010,1y。6．已知),(YX的联合分布函数为),(yxF，且dcba,，则),(dYcbXaP),(),(),(),(caFdaFcbFdbF。7．设)2,1(~NX，)4,3(~NY，且X和Y相互独立，则YXZ2的密度函数)(zpZzez,62124)5(2。8．)5.0,9,4,0,1(~),(NYX，则~Y)9,0(N，])[(2YXE8。9．设),(YX的联合概率分布为YX0100.10.110.80则X的概率分布为相关系数XY32。10．设随机变量nXXX,,21独立同分布,1EX,81DX,记niinXnY11，则用切比雪夫不等式估计)2(nYPn21。二．简答题（6）叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？数学期望：iiipx1绝对收敛，则iiipxEX1。（2分）EX描述X取值的平均。（1分）方差：2)(EXXE存在，则2)(EXXEDX（2分）DX描述X相对于EX的偏差。（1分）三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125）1．设随机变量X的分布函数为)(xF，ba，则)(bXaP)()(aFbF。不一定正确。（2分）如X为连续型随机变量，则)(bXaP)()(aFbF；如X为离散型随机变量，且0)(aXP，则)(bXaP)()(aFbF（或举反例）。（3分）2．若随机变量X和Y不相关，则DXYXD)(。正确。（2分）.)1)(,(2)(分）（分（分）11DXDYDXYXCovDYDXYXD四．计算题（65018810101）1．（01334）进行4次独立试验，在每次试验中A出现的概率均为3.0。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为6.0；如果A出现不少于两次，X01P0.20.8则B出现的概率为1。试求：（1）4次独立试验中A出现i次的概率)40(i；（2）B出现的概率；（3）在B出现的情况下，A出现一次的概率。记X为4次独立试验中A出现的次数，（1）;4,3,2,1,0,7.03.0)(44iCiXPiii（4分）（2）40)|()()(iiXBPiXPBP（1分）42443147.03.06.07.03.0iiiiCC（1分）59526.0（1分）（3）4149.059526.06.07.03.0)()1|()1()|1(314CBPXBPXPBXP（3分）2．（0155）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（单位：米）的密度函数为0,00,12501)(25002xxxexpx，如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于95.0？（1）15002500112501)50(2edxxeXPpx（5分）（2）设至少发射n枚炮弹，则95.01ne，（3分）3n（2分）3．（8136）设二维随机向量),(YX的联合密度函数为其他,0,10,),(2xyxxCyxp，试求：（1）常数C；（2）边际密度函数)(),(ypxpYX，并讨论X和Y的独立性；（3）)2(XYP。（1）xxdydxC2110（3分）6C（3分）（2）其它,010),(6)(2xxxxpX（2分）其它,010),(6)(yyyypY（2分）不独立（2分）（3）2210246)2(xxdydxXYP分）（81（2分）4．（8）如果你提前s分钟赴约，花费为cs（单位：元）；如果迟到s分钟，花费为ks（单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间]30,10[~UX（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。设赴约前t分钟离开，则花费tXtXktXXtcXfC),(),()(，(3分)3010)()()(dxxpxfXEfEC)45050()3010()22(201)(201)(23010kctkctkcdxtxkdxxtctt（3分）EC最小，kckct3010*（2分）5．（01）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为1:3。现种植杂交种400株，试求结黄果植株介于83到117之间的概率。记X为结黄果植株数，则)41,400(~BX（3分），75.025.040025.04008375.025.040025.0400117)11787(XP（4分）95.0196.12（3分）参考数据：,95.0)65.1(,954.0)69.1(.975.0)96.1(