概率论和数学分析的联系及相互间的应用

1概率论和数学分析的联系及相互间的应用胡鹏飞01213039（徐州师范大学数学系，徐州221116）摘要本文首先通过简述数学分析在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动,反映了概率论与数学分析的关系.接着又通过一些实例的解答,讨论了两门学科之间解题方法的相互应用,从另一方面反映概率论与数学分析之间的联系.本文的重要结论是给出了求解形如dxecbxaxkjxix22的公式.关键词随机变量；分布函数；数学期望；大数定律.一、概率论与数学分析的联系众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用，因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的.1.集合论与概率论的公理化体系集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.2.函数、随机变量与分布函数在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果.不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.3.级数在概率论中的特殊作用200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例，有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等.4.雅可比行列式与随机变量函数的分布德国数学家雅可比在数学领域的杰出贡献较为集中地体现在他引进的“雅可比行列式”上.应用雅可比行列式J可以一揽子解决多维随机变量yx,的函数yxZ,的概率分布问题.2在函数yxZZ,较为简单的情况下，用不用雅可比行列式进行变量替换，难易程度是差不多的.但是yxZZ,的表达式稍微复杂一些，雅可比行列式的作用将很显著.5.分布函数的性质与极限定理极限论构成了数学分析的基础，微积分中一系列重要的概念和方法都与极限的关系密切.概率论中运用极限的地方非常多，诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等等.综上分析，显而易见，数学分析的思想方法已经渗透到概率论的各个方面.没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化，概率论就难以形成一门独立的学科.数学分析与概率论的亲源关系，决定了概率论的确定论的特征.由此可见，概率论具有线性性与非线性性的双重特点，是一门同时包含着确定性和非确定性二重品格的特殊的数学学科.下面以一些实例来从另一方面体现概率论与数学分析的联系.二、概率论与数学分析方法的相互应用1.概率论中的数学分析解题方法(1)微分法某些随机事件的概率有依赖于一个变量的特点（比如依赖于时间变量等）.该概率作为一未知函数，有类比于通过微分方程确定未知函数的途径.从局部性质（增量研究）入手，由微分的方法可求出所需的概率.例1(见[1])某机器在t时间内因故障而停止的概率为tota(a为一正常数).如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立，如在时刻0t机器在工作着.试求此机器由时刻0t到tt0这段时间内不停工作的概率.解在机器工作稳定的情况下，所求概率应该只与时间区间[0t，tt0]的长短有关，而与起点0t无关.故所求概率只是t的函数，记为tP.由于对tP的整体性状的信息认识不足，只是局部地知道机器在充分小的t时间内因故障停车的概率为tota,这启发我们去考查tP在局部范围的增量变化特征.明显地，机器在[0t,ttt0]内不停，当且仅当在[0t,tt0]及[tt0，ttt0]两段时间内都不停.利用这两个事件的独立性，获知totatPtPtPttP1，所以totPttaPtPttP,从而ttPttP)()(=1otPtaP.注意到tP的有界性，令t→0，得到3)()(taPdttdP,这就是未知概率tP所应满足的微分方程.解此方程，即得到tP=Cate,其中C为任意常数.由假定在时刻0t机器在工作，此即是初始条件10P,于是可求出1c,故得tP=ate.(2)逐项微分法设离散型随机变量的概率分布为,,,2,1,nipaPii满足10ip,11niip,其中ip含有参数ni,,2,1,在求数学期望E时，可通过对11niip两边关于参数求导以达到目的.而在求方差D时，可对aE（a是上面求出之值）两边再对参数求导得2E,再由D2E2E得出结果.例2(见[2])设随机变量～P求E与D.解由条件知ekkk0!，两边同时对求导得,ekkkk01!,所以,!0ekkkk(﹡)从而ekkkk0!=，即E.对于与上式等价的（*）式两边关于求导,得4ekkkk)1(!012,所以)1(!02ekkkk,即2E=)1(,从而D2E2E21.对于连续型的情况可以类似求解.(3)幂级数法根据变量数学期望与方差的定义，利用随机变量的概率分布或分布密度的特点，我们可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差.对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量，也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差.例3(见[4])设随机变量服从参数为pr,的负二项分布10,1pr，即mP11rmCrprmq,pqrrm1,,1,,求E.解其计算过程用到公式1)1(1rxrmrmCrmx,该公式是由011nnxx10x连续逐项求导r次后得到的.事实上ErmrmrrmqpmC11rrprmrmrmqCrrp1)1(1rqpr(4)特殊函数法Gamma函数与Beta函数在概率论中有广泛的应用.对于Gamma函数,其表现形式为01dxexsxs0s,重要结论有:!1,1,21,11nnss.借助Gamma函数，概率论中有重要的分布.参数为(,)(0,0)的分布密度函数为5xp0,)(1xex.0,0xx当1n时,分布,1F称为参数为的指数分布,而当2n,21时,分布又称为自由度为n的2x分布.它们都是概率论中非常重要的连续型分布.利用卷积公式和数学归纳法可以证明分布可加性,即若,~iix,0i,0,ni,,2,1.是相互独立的则,~211nniix例4(见[8])设随机变量n,,,21相互独立,服从参数为的指数分布,niin11,求证11nnE.证明由于服从参数为的指数分布,即服从Gamma分布,1,ni,,2,1,又它们相互独立,由分布的可加性知n21～,n,所以.1)!1()!2(1)()(01)1(0121211nnnnnnnnydeynndyeynynyynEnEEynynnnn令2.数学分析中概率方法我们知道，数学分析是学习概率论的基础，所以我们经常遇到用数学分析的基本方法去解决一些概率问题.而下面我们将从以下几个方面说明数学分析中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决.（1）无穷级数的求和例1(见[1])试证自然倒数平方的级数和61212nn证明不妨设有放回地取出两数为和,则可能出现的结果为:1A:”,互素”62A:”,有公因子2”3A:”,有公因子3”qA:”,有公因子q”（q为素数）由于kA后按素数顺序取值且2,,,3,2,1kqk互斥,从而2__________221qqqqqqAAAA.再设,qCqBqq中有因子中有因子,则qCPqBPqq1,1,从而21qCPBPAPqqq,故qqqqAPAPAPAPAPAP5322222211511311211q,根据Euler变换无穷乘积为级数的方法,可得2121611nnAP,由此立得61212nn.（2）积分的计算例2(见[5])（1）计算形如dxecbxaxkjxix22的值；（2）设1,,,0,2,,,212222121nnnnxxxnxxxxxxG，7求极限nGndxdxdxn21lim.解(1)直接计算是很麻烦的.现利用随机变量的数学期望与方差的公式以及分布函数的性质进行计算.如果随机变量服从正态分布2,N,则2,DE,于是dxecbxaxkjxix22dxecdxxebdxexaeiijxiijxiijxijk222222222242222icdxiexibdxiexiaeiijxiijxijk222222222224222icEibEiaeijk242icEibEDiaeijk242icijibijiiaeijk2422242cibjiajaiieijk2422242以此结果计算dxex2的值.将0,0,1,1,0,0kjicba代入得所求积分结果为,经验证结果正确,这在数学积分中是一种很重要的积分.(2)求多重积分时,用普通的近似方