概率论文本教案第二章3

第三讲Ⅰ授课题目：第四节连续型随机变量及其概率密度（2）Ⅱ教学目的与要求：1.熟练掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的概念2.掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的计算Ⅲ教学重点与难点：重点：三个重要的连续型随机变量及其概率密度难点：正态分布的概念和计算Ⅳ讲授内容：一、常见的连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布1、均匀分布均匀分布(Uniform)若r.v.X的概率密度为：()fx1,0,axbba其它则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作X～U[a,b]若X～U[a,b]，则对于满足acdb的c,d,总有()()dcdcPcxdfxdxba均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布2、指数分布若r.vX具有概率密度()fx＝,00,xex其它则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.3、正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面；正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.（1）、正态分布的定义若r.v.X的概率密度为()fx＝22()212xe，x其中和2都是常数，任意,0则称X服从参数为和2的正态分布.记为X～2(,)N（Normal）．所确定的曲线叫作正态曲线.（2）、正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.决定了图形的中心位置，2决定了图形中峰的陡峭程度故f(x)以为对称轴，令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得f(+c)=f(-c)且f(+c)≤f(),f(μ-c)≤f()并在x=处达到最大值:()f12；当x时，()0fx.这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线.用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μ±σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。除外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量；小麦的穗长、株高；测量误差；射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布（3）、设X～2(,)N,X的分布函数是()Fx＝22()212xxedx，x（4）、标准正态分布(0,1)N的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用()x和()x表示.()x=2212xe,x()x=2212xxedx,x标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布它的依据是下面的定理：定理1设X～2(,)N,则Y＝x～(0,1)N．根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.（5）、正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.表中给的是0x时,()x的值.当0x时()1()xx若X～2(,)N，()Paxb＝()Paxb＝()()ba若X～2(,)N,则Y＝x～(0,1)N()Paxb＝()abPx＝()()ba3准则：由标准正态分布的查表计算可以求得，当X～2(,)N时，(1)Px＝2(1)＝0.6826(2)Px=2(2)=0.9544(3)Px=2(3)=0.9974这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.上述结论推广到一般的正态分布Y～2(,)N时，()Py＝0.6826(2)Py=0.9544(3)Py=0.9974可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间[3,3]内.这在统计学上称作“3准则”(三倍标准差原则）例1假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～2(170,7.69)N(1)求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。(2)公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?解(1)根据假设X～2(170,7.69)N，则1707.69x～(0,1)N故事件{X175}的概率为(175)Px=1(175)Px=1751701()1.69=1(0.65)=0.2578(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(Xh)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.因为X～2(170,7.69)N,故P(Xh)=0.99查表得(2.33)=0.99010.99所以1702.331.69h,即h=170+17.92=188(cm)故设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.Ⅴ小结与提问：小结：本次课我们介绍了均匀分布和指数分布、正态分布这三个常见的连续型随机变量，其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道。后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布;还要给出德莫佛极限定理的证明.Ⅵ课外作业：7221.23.24P