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概率论11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊.它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率.解：分别用x、y表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线x=24、y=24，它们与x轴及y轴围成一个正方形，点(x,y)总是落入这个正方形的；作直线y=x+1与y=x-2，如果点(x,y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为：p=(22*22/2+23*23/2)/(24*24)=1013/1152≈0.87934027777777825、已知男人中5%是色盲患者，女人中有0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？解：可以算出色盲的人占总人数的比率是5%x50%+0.25%x50%=2.625%，而在2.625%的人中，男的占5%x50%，所以是男的几率为5%x50%除以2.625%=20/21第一章随机事件与概率1．设A，B，C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；４）至多有两个事件发生；５）三个事件都不发生；６）恰好两个事件发生。2．设对于事件A，B，C，有P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求A、B、C至少出现一个的概率。3．设A，B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求P（AB(—)）。4．若事件A、B满足P（AB）=P（A(—)∩B(—)），且P（A）=1/3，求P（B）。5．一个袋中有5个红球2个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。6．一批产品有8个正品，2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。7．长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（A∪B）。8．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。9。某专科医院平均接待K型病人50%，L型病人30%，M型病人20%，而治愈率分别为7/10，8/10，9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K型病人的概率是多少？10．若P（A|B）=P（A|B(—)），证明事件A与事件B相互独立。第二章随机变量及其分布11．对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布率。12．已知Xi（i=1，2）的分布函数为Fi（x）。设是某一随机变量的分布函数，求常数a。13．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率都是1/2。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布率和分布函数。14．设随机变量X的分布函数为：，求：1）P{X≤2}，P{X＞3}；2）X的概率密度。15．设随机变量X～N（10，22），求P{10＜X＜13}；P{X＞13}；P{|X-10|＜2}；P{X＜-28}；P{X＞-15}。16．在电源电压不超过200，200～240和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2，假定电源电压X～N（220，252），试求：1）该电子元件被损坏的概率；2）电子元件被损坏时，电源电压在200～240V的概率。17．随即向量（X，Y）在矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，内服从均匀分布。求（X，Y）的分布密度函数及边缘分布密度，并判断X，Y是否独立。18．已知随机变量X～N（-1，1），Y～N（3，1）且X与Y相互独立，设随机变量Z=X-2Y+7，求Z的概率分布。19．设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。YXy1y2y3x11/8x21/81/6第三章随机变量的数字特征20．设随机变量X的分布列为：X01230.1p0.40.2求：1）常数p；2）数学期望EX；3）方差DX。21．已知随机变量X的分布列为：X0120.3p0.5求：1）数学期望E（X-1）2;2）方差D（X-1）2。22．设随机变量的分布密度为，求：1）常数A；2）数学期望EX；3）方差DX。23．设X的概率分布为，求：1）Y=2X的数学期望；2）的数学期望。24．设X，Y的概率分布分别为：，。求E（X+Y）和E（2X-3Y2）。25．设随机变量服从参数为λ的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，求λ。26．已知X、Y分别服从正态分布N（0，32）和N（1，42），且X与Y的相关系数ρXY=－1/2，设Z=X/3+Y/2，求：1）数学期望EZ；2）Y与Z的相关系数ρYZ27．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障获利5万元，发生两次故障获利0元，发生3次或3次以上要亏损2万元，求一周内期望利润。第四章大数定律与中心极限定理28．试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。29．X123P0.20.30.5试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。第五章数理统计初步大数定律与中心极限定理30．在总体X～N（52，6.32）中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值X(—)落在50.8到53.8之间的概率。31．设为来自正态总体X～N（μ，σ2）的一个样本，μ已知，求σ2的极大似然估计。32．设X～N（μ，1），为来自正态总体X的一个样本，试求μ的极大似然估计。33．随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位为cm）为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.102.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长服从正态分布，试就以下两种情况求总体均值μ的置信度为90%的置信区间：1）若已知σ=0.01；2）若σ未知。34．由经验知某零件重量X～N（15，0.05）。技术革新后，抽了6个样品，测得重量为（单位为ｇ）14.7，15.1，14.8，15.0，15.2，14.6。已知方差不变，问平均重量是否仍为15？（α=0.05）第一章随机事件与概率1．设A，B，C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；４）至多有两个事件发生；５）三个事件都不发生；６）恰好两个事件发生。用a,b,c分别表示A,B,C的补事件,那么有1)abC∪aBc∪Abc2)1-abc3)ABC4)1-ABC5)abc6)ABc∪AbC∪aBC其中(2)和(5)(3)和(4)是互逆事件2．设对于事件A，B，C，有P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求A、B、C至少出现一个的概率。因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，所以P（A+B+C）=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=5/83．设A，B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求P（AB(—)）。因为P(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.44．若事件A、B满足P（AB）=P（A(—)∩B(—)），且P（A）=1/3，求P（B）。P(AB)=P（非A∩非B）=P[非（A∪B）]=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]整理得P(A)+P(B)=1P(B)=1-P(A)=2/35．一个袋中有5个红球2个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。(1)、5/7*5/7=25/49,(2)、5/7*2/7=10/496．一批产品有8个正品，2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。1)取到两个正品有56种取法10个中取2次有90种取法56/90=28/452)同理，8*2/90=8/453)(8*2+2*1)/90=1/54)(8*2+2*8)/90=16/457．长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（A∪B）。8．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。2/3*2/4+1/3*1/4=5/129。某专科医院平均接待K型病人50%，L型病人30%，M型病人20%，而治愈率分别为7/10，8/10，9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K型病人的概率是多少？分子：50%*7/10分母：50%*7/10+30%*8/10+20%*9/10=35%/(35%+24%+18%)=5/1110．若P（A|B）=P（A|B(—)），证明事件A与事件B相互独立。证明:P(A|B)=P(AB)/P(B)P(A|B(—))=P(AB(—))/P(B(—))=[P(A)-P(AB)]/[1-P(B)]因为P(A|B)=P(A|B(—))所以P(AB)/P(B)=[P(A)-P(AB)]/[1-P(B)]P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(AB)P(B)所以P(AB)=P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立回答人的补充2010-01-0707:1911．对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布率。1次p2次(1-P)P3次(1-P)(1-p)P4次...........所以N次(1-P)^(N-1)*P12．已知Xi（i=1，2）的分布函数为Fi（x）。设是某一随机变量的分布函数，求常数a。13．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率都是1/2。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布率和分布函数。X可以取值为0,1,2,3。P(X=0)=1/2P(X=1)=1/4P(X=2)=1/8P(x=3)=1/8分布函数：F(x)=0当x0=1/2当0小于等于x1=3/4当1小于等于x2=7/8当2小于等于x3=1当x大于等于314．设随机变量X的分布函数为：，求：1）P{X≤2}，P{X＞3}；2）X的概率密度。分布函数的导数就是随机变量的概率密度，当x≤0时，分布函数为0，0也是常数，常数的导数为0.15．设随机变量X～N（10，22），求P{10＜X＜13}；P{X＞13}；P{|X-10|＜2}；P{X＜-28}；P{X＞-15}。因为随机变量X～N（10，22）即μ=10σ=2,P{10＜X＜13}=F(13)-F(10)=Ф()-Ф()=Ф(1.5)-Ф(0)=0.9332-0.5=0.4332P{X＞13}=1-P{X≤13}=1-F(13)=1-Ф()=1-Ф(1.5)=1-0.9332=0.0668P{|X-10|＜2}=P{＜1}=Ф(1)-Ф(-1)=2Ф(1)-1=2*0.8413-1=