概率论第三章习题参考解答

概率论第三章习题参考解答1.如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,求ξ的期望值解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ01P1/32/3因此有Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/32.矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η,周长ζ=2ξ+2η,ξ与η的分布律如下表所示:长度ξ293031P0.30.50.2而求出的周长ζ的分布律如下表所示:周长ζ9698100102104P0.090.270.350.230.06求周长的期望值,用两种方法计算,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长的分布计算.解:由长和宽的分布率可以算得Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20由期望的性质可得Eζ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值,也可以得Eζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8验证了期望的性质.4.连续型随机变量ξ的概率密度为其它0)0,(10)(akxkxxa又知Eξ=0.75,求k和a的值。解:由性质1)(dxx得111)(|10110akxakdxkxdxxaa即k=a+1(1)又知75.022)(|102101akxakdxkxdxxxEaa得k=0.75a+1.5(2)由(1)与(2)解得宽度η192021P0.30.40.30.25a=0.5,即a=2,k=36.下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表.从188辆汽车中,任意抽选15辆,得出下列数字:90,50,150,110,90,90,110,90,50,110,90,70,50,70,150.(1)求这15个数字的平均数;(2)计算表3-9中的期望并与(1)相比较.第一次发生引擎故障里数车辆数第一次发生引擎故障里数车辆数0~205100~1204620~4011120~1403340~6016140~1601660~8025160~180280~10034解:(1)15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15=91.33(2)按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188=96.177.两种种子各播种300公顷地,调查其收获量,如下表所示,分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).公顷产量(kg)4350~46504650~49504950~52505250~5550总计种子甲公顷数12384010100种子乙公顷数23243023100解:假设种子甲的每公顷产量数为ξ,种子乙的每公顷产量数为η,则Eξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944Eη=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598.一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g.100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)解:假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1,ξ2,…,ξ100,因此有Eξi=10,Dξi=102=12=1,(i=1,2,…,100),设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此1001ii，则ξ的数学期望和标准差为gDDDkggEEEiiiiiiii1011001)(10001010010011001100110019.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解:假设ξ为取出5个产品中的次品数,又假设ξi为第i次取出的次品数,即,如果第i次取到的是次品,则ξi=1否则ξi=0,i=1,2,3,4,5,ξi服从0-1分布,而且有P{ξi=0}=90/100,P{ξi=1}=10/100,i=1,2,3,4,5因此,Eξi=10/100=1/10,因为51ii因此有5.010155151iiiiEEE10.一批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取一个,如果取出的是废品就不再放回去.求取得第一个合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解:假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ,则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{PPPP因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222EEDEE11.假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第一个季度的平均人数.解:设三个随机变量ξi,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξi=1,否则ξi=0,则ξi服从0-1分布,且有P(ξi=1)=1/4,因此Eξi=1/4,(i=1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数,则ξ=ξ1+ξ2+ξ3,因此Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.7512.ξ有分布函数其它001)(xexFx,求Eξ及Dξ.解:因ξ的概率密度为其它00)()(xexFxx,因此11)(00000xxxxxedxexeexddxexdxxxE2002020222222)(|EdxxeexedxdxexdxxxExxxx22222112)(EED13.其它01||11)(~2xxx,求Eξ和Dξ.解:因φ(x)是偶函数,因此Eξ=0,则Dξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2因此有10222212)(dxxxdxxxED令ddxxcos,sin则上式=2112sin21212cos2sin12||202020202dd即Dξ=1/2=0.516.如果ξ与η独立,不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D(ξη),怎样计算?解:因ξ与η独立,因此ξ2与η2也独立,则有222222)()()(EEEEEED17.随机变量η是另一个随机变量ξ的函数,并且η=eλξ(λ0),若Eη存在,求证对于任何实数a都有EeeaPa}{.证:分别就离散型和连续型两种情况证.在ξ为离散型的情况:假设P(ξ=xi)=pi,则EeeeEpepepaPaaiiaxaxiaxaxiiiii][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x),则EeeEedxxedxxedxxaPaaaxaaxa)()()()()()(}{证毕.18.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证:设ξ为一次试验中事件A发生的次数,当然最多只能发生1次,最少为0次,即ξ服从0-1分布,P{ξ=1}=P(A)=p,P{ξ=0}=1-p=q,则4121412124141)1(222pppppppD19.证明对于任何常数c,随机变量ξ有Dξ=E(ξ-c)2-(Eξ-c)2证:由方差的性质可知D(ξ-c)=Dξ,而2222)()()]([)()(cEcEcEcEcD证毕.20.(ξ,η)的联合概率密度φ(x,y)=e-(x+y)(x,y0),计算它们的协方差cov(ξ,η).解:由φ(x,y)=e-(x+y)(x,y0)可知ξ与η相互独立,因此必有cov(ξ,η)=0.21.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求ξ与η的协方差.解:可以求出ξ与η的分布律如下表所示ηξ12101/321/31/3而由于对称性ξ与η的边缘分布率一样,P{ξ=2}=P{η=2}=2/3,P{ξ=1}=P{η=1}=1/3,Eξ=Eη=3532231138314312312},{)(2121ijjiijPE则913538)(),cov(22EEE22.(ξ,η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.求ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?解:ξ与η的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示:ηξ01/31pi(1)-101/121/35/1201/6001/625/12005/12pj(2)7/121/121/3因此12512526101251E1225125412512E144275144251225)(22EED3613311121311270E1083731121912E129627512961691237129616910837)(22EED36133112131)(E则4322211236171336131253613)(),cov(EEE相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(DD23.(ξ,η)的联合概率分布如下表所示,计算ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?ηξ-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解:由上表的数据的对称性可知ξ与η的边缘分布一样,算出为P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8P(ξ=1)=P(η=1)=3/8由对称性可知Eξ=Eη=0831831.081818181)(E因此cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0则ρ=0而P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16因此ξ与η不独立.这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24.两个随机变量ξ与η,已知Dξ=25,Dη=36,ρξη=0.4,计算D(ξ+η)与D(ξ-η).解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222DDDDDDEEEEEDDDDDDDEEEEED