概率论试题及答案

1一．计算题1．（12分）设随机变量与的联合分布律为ηξ01016a1b13已知事件{0}与{=1}相互独立，试求：（1）常数a,b的值；（本小题4分）（2）(,)Cov；（本小题4分）（3）min{,}的分布律。（本小题4分）解：（1）21}1,1{}0,0{1}1{PPP1’由于事件{0}与{=1}相互独立，得到21)61(}1{}0{}1,0{}1,0{aPPPPa1’解得61a。1’利用规范性，得到31b1’（2）121(,)0332CovEEE；4’（3）min{,}01P32314’2．（15分）已知随机向量(,)的联合概率密度函数为2,01,01(,)0,xyxypxy其他，(1)分别求，的边际密度函数；（本小题6分）(2)，相互独立吗？说明理由（本小题3分）(3)求随机变量函数的概率密度函数。（本小题6分）2解：(1)，的边际密度函数为：其他,010,)2()(10xdyyxxp其他,010,23xx；3’其他,010,)2()(10ydxyxyp其他,010,23yy。3’(2)由于)()(),(ypxpyxp，因此，不独立。3(3)解法一：利用卷积公式，得到当0z或2z时，0)(zp2’当10z时，)2())(2()(0zzdxxzxzpz2’当21z时，211)2())(2()(zdxxzxzpz2’即其他021)2(10),2()(2zzzzzzp解法二：先求分布函数)(zF。当0z时，0)(zF当10z时，3)2()(3200zzdyyxdxzFzxz当21z时，31101010)2(311)2()2()(zdyyxdxdyyxdxzFzxzz当2z时，1)(zF，故有其他021)2(10),2()(2zzzzzzp3．（8分）在天平上重复称重一重物，假设各次称重结果相互独立，称重结果的期望值为a，方差为0.04，若以nX表示n次称重结果的算术平均值，为使{||0.1}0.95nPXa，请用中心极限定理估计至少要称重多少次？3解：若随机变量i表示第i次称重的重物，则11nniiXn，于是有11||||nniiXanan。利用中心极限定理得到11||1{||0.1}{||0.1}{}20.2nininiinanPXaPnaPnn1)2(2n4’要使{||0.1}0.95nPXa，即975.0)2(n，2’于是得到3664.15n，1’取16n。1’4．（10分）从某品牌的油漆中随机抽取9个样品，测得油漆的干燥时间（单位：h）为6.5，5.8,7.2,6.6,6.8,6.3,5.6,6.1,4.9假设油漆的干燥时间2~(,)N，这里2,未知。问（1）是否可以认为油漆的平均干燥时间为6（0.05）；（本小题5分）（2）求2的95%的置信区间。（本小题5分）（220.9750.0250.975(1.96)0.975,(8)2.3060,(8)2.180,(8)17.535t）列1平均6.2标准误差0.23094中值6.3标准偏差0.69282样本方差0.48峰值0.282087偏斜度-0.56543区域2.3最小值4.9最大值7.24求和55.8计数9最大(1)7.2最小(1)4.9解：(1)建立原假设6:0H，备选假设6:1H。选取统计量nSXTn1，当原假设0H成立时，)8(~tT2’利用样本数据，有9n，2.6x，69282.01ns，故统计量的测试值为8660.0969282.062.6ˆt2’由0.05得到0.975(8)2.3060t，由于3060.2|ˆ|t，故接受原假设0H，即认为油漆的平均干燥时间为6小时。1’(2)由样本数据得到9n，48.021ns，对于0.05，自由度为8，有220.0250.975(8)2.180,(8)17.535，所以1’2190.0535.1748.08)1()1(2975.021nSnn2’7615.1180.248.08)1()1(2025.021nSnn2’故2的95%的置信区间为]7615.1,2190.0[5．（13分）设1(,...,)nXX是取自总体的一个简单随机样本，的密度函数为(),()0,xexpxx其中0为未知参数，（1）试求的矩估计；（本小题4分）（2）试求的极大似然估计；（本小题5分）（3）问的极大似然估计量ˆ是否为无偏估计，请说明理由。（本小题4分）解：(1)先计算1)()()()(dxexedxxeExxx2’由于XE，得到1ˆX2’5(2)对于一组观测值),,(21nxxx，设nxx,,1，此时似然函数)()()()(11ixniiniexpL两边取对数，得对数似然函数niinxL1)(ln2’分别关于求导，可得0)(lnndLd1’)(lnL关于严格单调递增，所以)(lnL的最大值应在取值的右面的边界点上取到，故极大似然估计为,minˆ1inix2’(3)设iniX1minˆ的分布函数为)(xF，利用最小值分布的公式，得到xxexFxFxnn,0,1))(1(1)()(得到iniX1minˆ的密度函数xxnexpxn,0,)()(2’ndxexedxxneXExnxnxnini1)(min)()()(11’故iniX1minˆ不是无偏估计。1’二．填空题（每小题3分，共18分）1．设随机变量的分布律为{},1,2,...,9(1)aPkkkk且{10}.10aP则常数a=1。2．设BA,为互不相容的随机事件，已知)(BAP=0.6，)(ABP=0.3，则()PAB0.9。3．设随机变量~(0,)2U,则(sin)E=2。64．设随机变量~(2)E，则2的密度函数()py=000,12yyeyy。5．已知随机变量的数学期望为0.8，方差为0.01，利用切比雪夫不等式估计概率{|0.8|0.2}P0.75。6．设总体~(1,4)N，（X1，X2，X3，X4）为取自总体的样本，则随机变量122234(1)(1)XXYXX服从t分布，自由度为2。三．选择题（每小题4分，共24分）1．设CBA,,为三个随机事件，其概率均大于0，且A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容，则下列命题中成立的是(C)。(A)A，B，C相互独立(B)C与AB相互独立(C)A与CB相互独立(D)B与AC相互独立2．在一系列独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，则5次试验中前2次试验成功后3次试验失败的概率为(D)。(A)234(1)pp(B)34(1)pp(C)310(1)pp(D)23(1)pp3．设随机变量的分布函数为20,,(),,1,.xaFxxcaxbxb且已知11{}24P，则,,abc的取值分别为（A）。(A)0,1,0abc；(B)0,2,4abc；(C)1,2,3abc；(D)0,2,0abc4．设是一随机变量，c为任意实数，E为随机变量的数学期望，则（B）。(A)22()()EcEE(B)22()()EcEE(C)22()()EcEE(D)2()0Ec75．设随机变量X，Y相互独立，服从两点分布111323，则下列式子中正确的是（C）(A)21}{YXP(B)4{}9PXY(C)5{}9PXY(D)1}{YXP.6．甲袋中有3只黑球、7只白球，乙袋中有4只黑球、5只白球，现在从甲袋中先取出一只球放入乙袋中，再从乙袋中拿出一只球，则该球是白色的概率为（C）。(A)12(B)59(C)57100(D)35