概率论题答案

11.设二维随机变量(,)XY的概率密度为221,1,(,)0xyfxy其他，则[(|)]EEXY0.2.设随机变量X服从二项分布,Y服从泊松分布,即~4,0.5XB,~1Y,0.5XY，则(21)DYX3.3.设()cossin,()XtAatBatt其中,AB是相互独立的随机变量，其均值都是0，方差都是1，则{()}Xt的自相关函数为(,)XRstcos()ats.4.设电话总机在(0,]t内接受到的电话呼叫次数()Nt是强度（每分钟）为0的泊松过程，则3分钟内接到5次呼叫的概率为538140e.5.设随机过程(),0XttYt，其中Y服从正态分布，即~(1,4)YN，求103()EtXtdt1.6.设随机过程{(),0}Xtt是实值均方可微过程，且其自相关函数为(,)5XRstst，均值函数为()2Xmtt，令()()ddYttXt，则导数过程()Yt的协方差函数(,)YBst1.二.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。解：设顾客到来过程为{N(t),t=0}，依题意N(t)是参数为的Poisson过程。2(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102PNee(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为102N，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102NN，从而所求概率为：141221111100100022221102PNNNPNNNNPNNee()|()|()三.随机过程ttAtX,cos，其中是常数，,A是相互独立的随机变量，4,2DAEA,是在[-，]上均匀分布的随机变量。试分析tX的平稳性和各态历经性。解：tmdttEEAtAEtXEtmXdefX,coscoscos0212XdefXRdtdttttEAEtAtAEtXtXEttRcoscoscoscoscoscoscoscoscos,4224282所以具有平稳性。四.设平稳随机过程()Xt的自相关函数()XRe。令0()()cos()YtXtt，其中0，为[0,2]均匀分布的随机变量，且()Xt与相互独立。求()Yt3的自相关函数和功率谱密度。解：令0()cos()Ztt则120102(,)[cos()cos()]ZRttEtt0102010211[cos()cos(2)]22Etttt01201201211cos()cos()[cos2]sin()[sin2]22ttttEttE0121cos()2tt1212(,)[()()]YRttEYtYt101202[()cos()()cos()]EXttXtt120102[()()][cos()cos()]EXtXtEtt12012121()cos(),2XRtttttt0121cos,2ett22()1XS，00()[()()]2ZS由Fourier变换的性质得22001111()()()221()1()YXZSSS（直接利用傅立叶变幻求出SY也算正确）五.设马氏链{,0}nXn的状态空间为{1,2,3}，初始分布为12311(0),(0),(0)0,22PPP一步转移概率矩阵为1304411124412033P求：4(1)1X的分布律;(2)134(1,1,1)PXXX(3)563(1,2|1)PXXX(4)证明马氏链{,0}nXn是遍历的。解（1）123123((1),(1),(1))((0),(0),(0))PPPPPPP1304411111(,,0)2224412033311(,,)828（2）23331681617113164811143649P1341111137121(1,1,1)(1)(2)8164512PXXXPXpp（3）563111221(1,2|1)(2)64PXXXpp。（4）由于马氏链(2)0,1,3,ijpij，所以{,0}nXn是遍历的.（利用分析发放证明也算正确）六.设马氏链{,0}nXn的状态空间为{1,2,3,4,5,6,7}，转移概率矩阵为50.400.20.20.20000100000001000010000000000.500.500000.50.50000000.50.5P试确定该链是否可分，若可分,找出全部不可分闭集,讨论状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解该链是可分,},7,6,5{},4,3,2{21JJ,由,01322np所以1J为周期为3的正常返集.2J有自环，所以2J非周期正常返集.设2J平稳分布为567{,,}则有5566677575570.50.50.50.50.50.51解得567{,,}=111{,,}333.七.设一平稳过程)(tX先通过一个微分器，其输出过程为)()(tXdtdtY,然后过程()Yt再输入到另一脉冲响应函数为,0()0,tetht其他的线性系统,输出过程记为()Zt.若测得()Zt的功率谱密度为2424()54ZS,试求(),()()XtYtZt和的自相关函数.（注：若)(tf的傅里叶变换为)(F，则dttdf)(的傅里叶变换为)(Fi）解：(1)224222222444411()54(4)(1)4314ZS2216/34/34162||||42()33ZRee(2)222211()()|()|11htHHi22222416()|()|()()444ZYYSHSS2||()4()4YRe(3)输入,输出的关系为dttdxty)()(作傅里叶变换得)()(XiY所以,系统的传输函数为2211()()|()|()YHiHX2124()|()|()()4YXXSHSS2||()ZRe