概率问题常见解题方法[1]

声明:本论文只作为封开县江口中学(teacher.jkmschool.net)内部交流使用,版权归作者所用,一切未经许可的盗用和转载将负法律责任。更多的教学论文请访问:概率常见解题方法作为概率统计这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n次独立重复试验）。高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P（A）=nm（2）互斥事件有一个发生的概率P（A+B）=P（A）+P（B）（3）相互独立事件同时发生的概率P（A·B）=P（A）·P（B）（4）独立重复试验概率公式kknknPCP)((1―P)kn，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：记三次射击为事件A、B、C其中P（A）=21由21=P（A）=50001002KK∴P（B）=9215050002P（C）=8120050002∴命中野兔的概率为：P（A）+P（A·B）+P（A·B·C）=14495二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。例2：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事件的概率（1）指定的n个房间各有一个人住（2）恰好有n个房间，其中各住一人解：∵每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有Nn种，它们是等可能的，声明:本论文只作为封开县江口中学(teacher.jkmschool.net)内部交流使用,版权归作者所用,一切未经许可的盗用和转载将负法律责任。更多的教学论文请访问:∴（1）指定n个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为n！则P（A）=nNn!（2）恰好有n个房间其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有nNC个,由（1）可知：P（B）=nnNNnC!三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解：（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak（k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为1A·2A·3A·4A·5A∵Ai是相互独立事件∴敌机击被击中的概率为：P（1A·2A·3A·4A·5A）=P（1A）·P（2A）·P（3A）·P（4A）·P（5A）=(1―0.2)5=5)54(∴P=1－5)54((2)设至少需要n门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则：1―n)54(0.9解得：n10.3∵n∈N+∴至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。四、转化法当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。例4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。解：由题意数学家共用了2n―r根火柴，其中n根取自一盒，n―r根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n―r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n―r的概率”，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法声明:本论文只作为封开县江口中学(teacher.jkmschool.net)内部交流使用,版权归作者所用,一切未经许可的盗用和转载将负法律责任。更多的教学论文请访问:∴2n―r个球的所有等可能结果为rn22，甲盒放入n个球的可能结果为nrnC2∴P（A）=rnnrnrnnrnCC2222)21(2五、枚举法对于带有开放性的概率问题，首先要弄清题意，恰当理解陈述问题的材料，联想所学的概率模型、分类讨论，然后表述解决问题的方案。例5：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结方式。解：设系统可靠性为P（1）若全并联，则P=1―0.24=0.99840.85（2）若两个两个串联后再并联，则P=(1―0.82)2=0.87040.85（3）两个两个并联后再串联，则P=(1―0.22)2=0.92160.85（4）三个串联与第四个并联，则1―0.2（1―0.83）=0.90240.85∴设计如下→→→→→→→→六、几何法有些事件发生的结果满足某一代数关系式，则事件发生的概率可依据几何意义来求：例6：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则|x―y|≤15如图：则（x、y）的所有可能结果是边长为60的正方形内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知：P（A）=16760456022260601515声明:本论文只作为封开县江口中学(teacher.jkmschool.net)内部交流使用,版权归作者所用,一切未经许可的盗用和转载将负法律责任。更多的教学论文请访问:从以上几种解法可以看出，解决概率问题的步骤可归纳为三步：第一步,确定事件的性质，例如古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为四类事件中的某一种。第二步,判断事件的运算、和事件、积事件,确定事件至少有一个发生还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式。第三步,运用相应的公式计算。总之，正确的求解概率问题，必须要具备一定的排列组合知识和了解上述的方法步骤，能熟悉和掌握必要的“概率模型”，并会利用分类与讨论、转化与化归等数学思想。