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课时跟踪检测(三)正、余弦定理在实际中的应用一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为()A.2akmB.3akmC．akmD．2akm3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5B．10C．102D．1034．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.1762海里/小时B．346海里/小时C.1722海里/小时D．342海里/小时5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行()A．102海里B．202海里C．30海里D．302海里二、填空题6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地距离为________km.7．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________nmile.三、解答题9．海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．答案课时跟踪检测(三)1.解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.2．选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.3.选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m，由正弦定理，得BB′＝ABsin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延伸102m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．选A如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1726(海里/小时)．5．选D如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×13＝102＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝102.在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，∴B1B22＝400＋200－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102，∴乙船每小时航行302海里．6．解析：如右图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7km.答案：77．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝AB·sin∠ABOsin∠AOB＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案：1063cm8.解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝153nmile，AD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，则在Rt△ADB中，DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝53nmile，则BC＝DC－DB＝153－53＝103nmile.答案：1039.解：如图所示，设观察站A在水平面上的射影为O，依题意OB＝OA·tan30°＝33(千米)，OC＝OA·tan60°＝3(千米)，则BC＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos120°＝133(千米)．∴船速v＝133÷1060＝239(千米/小时)．10．解：设甲沿直线与乙船同时到C点，则A、B、C构成一个△ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为3v，到达C处用时为t.由题意BC＝vt，AC＝3vt，∠ABC＝120°.在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－a2(舍)或vt＝a.∴BC＝a，在△ABC中AB＝BC＝a，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里．