正余弦定理的应用教学设计(终极版)

课题名称正余弦定理的应用学科数学授课班级K-1授课时数1设计者林巧红所属学校本节（课）教学内容分析（1）本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》的内容，该节包括正弦定理和余弦定理的发现、探索、证明和应用，分5课时完成，本节课是第5课时，内容主要是正弦定理和余弦定理在解三角形中的简单应用。（2）《正余弦定理的应用》是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考内容。从知识的网络结构上看，它是三角公式及变换的延续和应用,也是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等的运用和拓展。（3）正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，对它们进行灵活应用，就会感到另一种新奇与愉悦，同时也给众多题目找到了“同一根源”。依据课程标准（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本节（课）教学目标（1）知识与技能目标：通过对任意三角形边角关系的探究，进一步掌握三角形中边长与角度之间的定量关系.（2）过程与方法目标：通过对两个定理的进一步学习，使学生能灵活选择它们来解决三角形中的边角问题，培养学生的思维综合能力，学会与人合作，交流.（3）情感与态度目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，让学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生探索数学规律的数学思想，以及在方程思想指导下解三角形的运算能力。学习者特征分析（1）本课的学习对象为高一普通班学生，他们经过一个多学期的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。（2）作为高一年普通班的学生普遍存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的指导，学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源知识信息的获取，加工，处理和综合的能力较低，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性高。（3）《正弦定理和余弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，因此以这些知识作为工具或载体，运用转化与化归作为指导思想是本节学习的重点。本节的学习，又可以让学生进一步掌握三角形中边与角存在着的定量关系，这是一个从定性到定量的飞跃过程，这些对让学生体会到事物是相互联系的辩证思想有着举足轻重的作用。因此，本节内容让普通班学生通过网络课进行协作和探究学习是比较合适的。（4）本节课存在的困难点：1、从直角三角形到斜三角形，这样一个从定性到定量的过程，学生认识是否到位，是否只是机械套用公式？2、本节课中例1涉及到了三角形中的“多解”情况，面积、周长问题，现在的学生动手能力较差，能否考虑到？在例2、3中对正弦定理与余弦定理的灵活、准确选用有无障碍？教学、学习时间是否够用？知识点学习目标描述知识点编号学习目标具体描述语句（一）知识目标1、三角形的有关性质；2、正、余弦定理综合运用.（二）能力目标1、熟练掌握正、余弦定理；2、进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；3、综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.（三）德育目标通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.教学重点和难点项目内容解决措施教学重点正、余弦定理的综合运用.启发学生在求解三角形问题时，注意三角形性质，三角公式变形与正余弦定理产生联系，从而综合运用正余弦定理达到求解目的。教学难点1、正、余弦定理与三角形性质的结合；2、三角函数公式变形与正、余弦定理的联系在题设条件不是三角形基本元素时，启发学生利用正余弦定理建立方程，通过解方程组达到解三角形目的教学环境设计针对这一节课的内容，我选择在多媒体教室上课，做好博客课件，方便同学与同学交流，与老师交流，安排学生三人一台电脑，方面同学之间合作探讨。教学媒体（资源）选择（依据“经验之塔”P42，确认有助于教学）知识点编号学习目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源1、知识梳理博客（一）三大定理1、正弦定理：变形：2、余弦定理：变形：勾股定理：3、面积定理：（二）常用结论1、内角和定理2、大边对大角，大角对大边：3、三角变换：A.提供事实，建立经验E.演示—提问—讲解通过提问了解学情，并初步为解三角形扫除知识点不足的障碍。5网络2、例题分析博客（1）在△ABC中，030,6,32Aba，求此三角形的边c.（2）已知三角形的一个角为60°，面积为310，周长为20，求此三角形的各边长。D.提供示范，正确操作F.演示—讨论—总结1、已知两边及一边的一对角，解三角形时，需考虑解的个数。2、已知一个角，可由余弦定理建立一个关于a,b,c的关系式，再结10网络合面积公式，周长公式求出a,b,c。3、例题分析博客在中ABC，22tantanbaBA，试判断ABC的形状。G.设难置疑，引起思辨I.学习者自己操作媒体进行学习；判断三角形的形状，有两条思路：①化角为边；②化边为角。两条转化主要是应用正弦定理（边化正弦，正弦化边）和余弦定理（余弦直接代入）。5网络4、例题分析博客已知cba,,分别为ABC的三内角CBA,,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角B的大小；（2）求CAsinsin的最大值；（3）若ABC的外接圆半径为4，求ABC面积的最大值；思考：若ABC的外接圆半径为4，设D为AC中点，求中线BD的取值范围；G.设难置疑，引起思辨F.演示—讨论—总结充分挖掘两个定理，利用三角函数的有界性来求面积的最值，体现三角函数公式的工具性作用。10网络5、在线测试博客（1）已知△ABC中，sinA:sinB:sinC＝1:1:2，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°（2）在ABC中，若CcBbAasincoscos，则ABC是()A.直角三角形.B.等边三角形.C.钝角三角形.D.等腰直角三角形.（3）在△ABC中，0135,3,2Cba,则ABC的面积是()G.设难置疑，引起思辨I.学习者自己操作媒体进行学习加强对正余弦定理的应用5网络A．3B．23C．223D．233（4）在ABC中，已知4,13,3ACBCAB，则AC边上的高为（）A．223B.233.C.23.D.336课堂小结博客熟记：正余弦定理及其变形；三角形面积公式；合理采用公式求边、角、面积、周长、外接圆半径；活用：灵活运用定理，实现边角转化；注重：数形结合与转化思想。J.归纳总结，复习巩固F.演示—讨论—总结通过提问，引导学生回忆，作出小结，给学生以第二次学习的机会。3网络7、课外作业博客1、若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC则△ABCA．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、在ABC中，3,1,23baS，则角B=______________________;3、在ABC中，AB=4,AC=3,角平分线AD交BC于D，AD=2，则面积S=__________;4、已知圆内接四边形ABCD的四条边长分别为5,8,3,3DACDBCAB，求四边形ABCD的面积。5、已知cba,,分别为ABC的三内角CBA,,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角B的大小；K.自定义。I.学习者自己操作媒体进行学习与课堂教学内容呼应，帮助学生有效的掌握知识2网络（2）求CAsinsin的取值范围；（3）若ABC的外接圆半径为4，求ABC周长的取值范围。板书设计正余弦定理的应用1、知识梳理3、在线测试2、例题分析4、课堂小结例15、课外作业例2例3关于教学策略选择的阐述重视提出问题、解决问题策略的指导。学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的，并让指导学生掌握对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法。针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容划分为三大类型——求解斜三角形中的基本元素；判断三角形的形状；面积的最值问题。其次，在每一类型中，有代表性地选取两道例题或1小道，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。最后，利用好小结，使学生的认识再进一步升华，从而达到教学目的。课堂教学过程结构设计教学环节教师的活动学生的活动教学媒体（资源）设计意图、依据课前准备1、指导学生登陆博客网站。2、介绍博客网站的操作方法。3、讲明上课过程中的注1、作好课前准备。2、登陆专题网站。3、熟悉专题网站的操作方法。博客1、让少数不熟悉网络操作的同学学会利用网络资源来辅助学习。2、有助于本节课的顺利进行。意事项。知识梳理1、展示本节的重要知识点：（1）三大定理正弦定理：余弦定理面积定理（2）常见结论内角和定理边角大小关系三角变换2、提问部分学生相关知识点内容并给予纠正与肯定。了解本节课的三大定理内容及常见结论。博客、黑板解三角形的重要依据是正余弦定理，通过提问了解学情，并初步为解三角形扫除知识点不足的障碍。例1分析1、请学生点击本节的例1。例1、求解斜三角形中的基本元素是指已知两角一边（或两边一角或三边），求出其他三个元素，进而求出三角形的三线（高，角平分线，中线），周长，面积等基本问题。（1）在△ABC中，030,6,32Aba，求此三角形的边c.（2）已知三角形的一个角为60°，面积为310，周长为20，求此三角形的各边长。2、引导学生针对题目进行讨论，小组自讲，捕捉学生中出现的一些“意见”。3、讲解学生中出现的一些“意见”，1、分析题目类型，小组自讲解题思路。2、把探讨过程中出现的问题以及亮点通过博客及时反馈给老师与其他同学；同时也尽量回复其他同学提出的困惑。3、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结各题解题的关键点。博客、黑板1、把主动权交给学生，让学生自发地成为一个“教师”，这就要求学生不仅要会做还要会讲，学生如果会讲了，思维就流畅了，过程就规范了，能力也就自然而然地提高了2、调动学生的主动性和创造性，使学生完成角色的改变，从“要我学”变成“我要学”。从而真正让学生实现知识的自我反馈。例2分析1、请学生点击本节的例2。例2、判断三角形的形状1、小组讨论，派代表到黑板板书，并及时关注上面的同学解题过程是博客、黑板1、创造一个让学生协作学习的空间，互相配合、互相帮助、各种观点互在中ABC，22tantanbaBA，试判断ABC的形状2、全班分为两组，一组角化边，一组边化角，并派一名代表到黑板板书，比赛谁更快。3、捕捉学生中出现的一些“意见”，并对此进行讲解，并与学生一起对此类型进行归纳小结。否出现纰漏，及时派人上去修正。2、通过博客及时反馈探讨问题中出现的困惑。3、听老师解惑释疑，及时做好笔记，小结解题的关键点。相补充，完成学习任务，从而培养学生团队精神以及各方面的能力。2、以常用的三角公式为基础，强化训练边角互化，使学生掌握判断三角形形状的两种方法，同时通过学生板书并不断规范解题过程既调动了学生学习的积极性，又树立了学生们竞争向上的进步意识，充分激发学生的学习潜力。例3分析1、请学生点击本节的例3。例3、最值问题已知cba,,分别为ABC的三内角CBA,,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角B的大小；（2）求CAsinsin的最大值；（3）若ABC的外接圆半径为4，求ABC面积的最大值；