正定中学11届一轮复习学案02高二上学期巩固复习学案二

数学是思维的体操高二数学巩固复习学案二曲线和方程一、知识整理1．曲线方程与方程的曲线的概念：在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的与一个方程,0fxy的建立了如下关系：（1）曲线上的都是这个方程的解；（2）以这个方程的为都是曲线上的，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）。2．由曲线方程的定义可知，如果曲线C的方程是,0fxy，那么点000,Pxy在曲线C上的充要条件是00,0fxy。3．我们把借助坐标系研究几何图形的方法叫做。在数学中，用研究典几何图形的知识形成了一门叫做的学科。因此可以说，是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。4．平面几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的；（2）通过，研究曲线的。5．求曲线（图形）的方程的一般步骤是：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中步骤（2）和（5）可以省略，但遇有特殊情，可适当给以说明。6．由曲线方程的定义可知，两条曲线的公共点的，是两个曲线方程组成的方程组的；反过来，方程组有几个，两条曲线就有几个公共点，方程组没有，两条曲线就有。也就是说，两条曲线有公共点的是它们的方程所组成的方程组有。7．圆的方程（1）圆的标准方程222xaybr，它的圆心是,Cab，半径为r。特别地，圆心在原点，半径为r的圆的方程为222xyr。注意：圆的标准方程突出了几何意义，即知道了圆心坐标和半径，就可写出圆的标准方程，数学是思维的体操反过来，由圆的标准方程可知道圆心坐标和半径。（2）圆的一般式方程2222040xyDxEyFDEF，它的圆心是,22DE，半径是22142DEF。注意：00BAC是一般的二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的必要不充分条件。（3）圆的参数方程cossinxarybr，它的圆心是,Cab，半径是r。（4）过圆222xyr上一点00,Mxy的切线方程为200xxyyr。二、方法小结1．研究两条曲线的公共点的问题（1）两条曲线的公共点的坐标就是它们的方程所组成的方程组的解，公共点的个数就是这个方程组的解的个数；（2）如果两条曲线的方程中一个是一次方程（如直线ykxb），另一个是二次方程，则方程组消元后可得关于x或y的一元二次方程。如果这个一元二次方程的判别式大于0，则这两个曲线有两个公共点（交点），如果判别式等于0，则这两个曲线有一个公共点（切点），如果判别式小于0，则这两个曲线没有公共点；（3）求直线被曲线所截得的弦的中点的坐标，除通过方程组求弦的端点坐标，再用中点坐标公式求弦的中点坐标外，通常用“设而不求”的方法，以减少运算量。具体做法是，先设出弦的两个端点的坐标1122,,,AxyBxy及弦的中点的坐标00,Mxy，再把一次方程代入二次方程，消元后可得另一个变量（如x）的一元二次方程，根据曲线与方程的定义，12,xx是这个一元二次方程的两个根，由韦达定理及中点坐标公式，可求得弦的中点的横坐标1202xxx。因为中点M也在直线上，所以把0x代入直线方程可求得中点的纵坐标。2．求曲线方程的常用方法（1）直接法当条件比较简单时，可按求曲线方程的五个步骤，直接求出曲线方程。其中建立的坐标系是否“适当”，对求解过程和结果的形式是否“简捷”影响很大。一般地，所谓建立“适当”的坐标系，应使已知的点尽可能多的在坐标轴上，因此，只要充分利用了条件中的垂直关系，平行关系，对称关系等建立的坐标系，都算是“适当”的。（2）相关点法当所求轨迹上的动点,Mxy与已知曲线上的动点000,Mxy有关系时，可利用这个关系，将已知曲线上动点的坐标用所要求的轨迹上的动点坐标表示，再将其代入数学是思维的体操已知曲线的方程，可得所求轨迹上的动点坐标所满足的方程，将这个方程整理可得所求轨迹的方程，这种方法叫做“代入法”或“相关点法”。（3）参数法求轨迹方程时，如果动点,Mxy的坐标,xy都能用第三个变量t来表示，即有xftygt，并且对于t的允许的取值范围内的每一个值，通过这个方程组确定的,xy为坐标的点都是轨迹上的点，那么这个方程组叫做轨迹的参数方程。从这个方程组中消去参数t，即可得到所求的轨迹方程（普通方程）。有时，动点,Mxy的坐标,xy所满足的关系式很难直接得到，而借助某一中间变量t（参数），分别建立yx,与t之间的关系比较方便，则可先求轨迹的参数方程，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程（普通方程），这种方法叫做参数法。3．圆的标准方程突出了几何意义，即圆心坐标和半径。圆的一般方程突出了形式上的特点，即不含xy这样的项，22,xy的系数相等且不为零。圆的参数方程是把圆上任意一点的坐标,xy都用同一个量表示，起到了消元的作用。因此，在求圆的方程时，如果从已知条件中容易求出圆心坐标和半径，则用圆的标准方程，否则用圆的一般式方程。圆的参数方程实际上就是三角换元，当涉及到与圆上的点有关的最值或范围问题时，可用圆的参数方程，即把圆上任意一点的坐标,xy都用同一变量（角）表示，消元后把问题转化为三角问题。4．直线与圆、圆与圆的位置关系判断直线与圆、圆与圆的位置关系，是解析几何研究的两大问题中的第二个问题，即通过方程研究曲线的性质。（1）直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。研究直线与圆的位置关系，有以下两种方法：①计算圆心到直线的距离d和圆半径r，当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交；②把直线方程与圆的方程联立，由方程组的解的个数判定直线与圆的位置关系。这又可转化为下面的问题：把方程组消元后，得到一个一元二次方程，当判别式大于零时，方程组有两个不相同的实数解，此时直线与圆相交；当判别式等于零时，方程组有一个解（一元二次方程有两个相等的实数解），此时直线与圆相切；当判别式小于零时，方程组没有实数解，此时直线与相离。（2）圆与圆的位置关系有五种：外离，外切，相交，内切，内含。判断圆与圆的位置关系常用下面方法：设两圆的半径分别为12,rr，圆心距离为d，则当12drr时，两圆外离；当12drr时，两圆外切；当1212rrdrr时，两圆相交；当12drr数学是思维的体操时，两圆内切；当12drr时，两圆内含。说明：用方程组的解的个数不好判断两圆的位置关系，当方程组没有实数解时，两圆是外离还是内含，分不清楚；当方程组只有一个实数解时，两圆是外切还是内切也分不清楚。三、典题演练一、选择题：1.已知三角形ABC是等腰三角形，A为顶点，若一腰的两个端点坐标分别是24,A，02,B，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是（）A．04822yxyxB．2284200xyxy210x,xC．0204822yxyx102x,xD．0204822yxyx102x,x2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（）A．0xy；B．0xy；C．||0xy；D．||||0xy。3.动点P与两个定点A（1，0），B（－1，0）的连线互相垂直，则点P的轨迹方程为（）A．122yxB．122yx(x≠±1)C．122yx(x≠0)D．21xy4.已知方程2224380xykxyk表示一个圆，则实数k的取值范是（）A.83kB.83kC.14kD.1k或4k5.和x轴相切且和圆122yx外切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．122yxB．122yxC.1||22yxD．1||22yx6.若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围是().A．3(0,)4B4(0,)3C3[0,]4D3(0,]47.实数x,y满足24,012222xyyxyx则的取值范围为（）A．),34[B．]34,0[C．]34,(D．)0,34[8.已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且:1:2AMMB，动点M的轨迹方程为（）。数学是思维的体操A．221164xyB.221164yxC.221164xyD.221416xy9.定义运算abadbccd　，则符合条件1120121xyyx的点P（x,y）的轨迹方程为（）A．(x－1)2+4y2=1B．(x－1)2－4y2=1C．(x－1)2+y2=1D．(x－1)2－y2=110.过原点的直线与圆03422xyx相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（）A．xy3B．xy3C．xy33D．xy3311.圆的方程为1612,sin23cos21tytxyx直线方程为则直线与圆的位置关系为（）A．直线过圆心B．相交而直线不过圆心C．相切D．相离12.两圆sin24cos23yx与sin3cos3yx的位置关系是（）A.内切B.外切C.相离D.内含二、填空题：13.若直线1ymx与曲线2241xy恰有一个公共点，则2m=；14.设圆22450xyx的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为；15.点P在圆2134,0126422yxQyxyx在直线点上上，则|PQ|的最小值为；16.若圆1)1(22yx上任意一点),(yx都使不等式0myx恒成立，则实数m的取值范围为.三、解答题:17.求与直线3240xy和直线32120xy距离相等的点的轨迹方程。数学是思维的体操18.一动点M到直线8x的距离是它到点A（2,0）的距离的2倍，求动点M的轨迹方程。19.已知圆C和y轴相切，圆心C在直线03yx上,且被直线y=x截得的弦长为72，求圆C的方程.20.已知圆22(4)25xy的圆心为1C，圆22(4)1xy的圆心为2C，一动圆与这两个圆都外切．求动圆圆心M的轨迹方程；21.已知曲线C与曲线1)1(22yx关于直线xy对称，求曲线C的方程。22.已知曲线C：24yx和点1,0A，B是曲线C上的动点，且点M满足12AMMB，求点M的轨迹方程。