正弦函数余弦函数教学设计

1正弦函数、余弦函数的图象贵州省开阳县楠木渡镇中学申潜一、教材分析教材与学生的简要分析：这是高中数学（人民教育出版社）必修4第一章第1.4、1节《三角函数的图象与性质》的内容。本节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统的研究。作为函数，它是已学过的指数函数与对数函数的后继内容，也是后面学习三角函数的性质的重要基础依据，为今后学习正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。三角函数是基本初等函数之一,它是中学数学的重要内容之一,也是学习高等数学的基础,研究办法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了.三角函数是数学中主要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具．学情分析学生在初中已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。从身心上，高一学生对于比较抽象的内容不是很感兴趣，所以借助多媒体创设教学情境引起学生的兴趣，另外让学生自己动手画函数图象，使所有学生都参与进来，以达到较好的教学效果。从知识上，学生在前面2学习的基础上，已经对三角函数有了一个较为深刻的认识，但他们还是习惯于在三角函数的求值、化简、证明等内容上，提到三角函数的定义，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值这一点还是掌握得很牢固的，另外，他们提到角，还是首先想到角度，而后才想到弧度，所以，在给出正弦函数和余弦函数的定义时，学生可能会觉得不太习惯。另外，在利用正弦线画正弦函数在[0,2π]上的图象的过程中，学生很可能会遇到横坐标和纵坐标两方面的困难，所以在教学时，教师要尽量引导，动画演示，多设置问题，让学生一步步得出图二、教学目标根据本节课在数学课程中的地位以及在高考中的分量，加上本节内容与实际生活联系也比较紧密，本节课的教学目的确立为以下几点：知识与技能1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．过程与方法：通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方通过观察发现确定函数图象形状的关键点.从一般到特殊、从特殊到一般。情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想.培养学生数学学习兴趣、增强学生数学学习信心。三、教学重点和难点对于本节课内容，由于有研究指数函数、对数函数的基础，再加上前面单元学习的三角变换为图形变换提供了依据，为数形结合创造了条件，因此学生接3受起来并不十分困难。但作函数的图象方法有两种：描点法和几何法。描点法在初中已学过，并且是非常容易接受的一种方法，要求学生全员掌握。几何画法，也就是用正弦线作出正弦曲线，这是一种全新的作图方法。学生刚学习三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础，能不能正确应用来画图，这还需要我们老师做进一步的指导。根据以上分析，我确定本节课的重点和难点是：教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数、余弦函数的图象．正弦函数、余弦函数的“五点作图法”；教学难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．正弦函数与余弦函数图象间的关系，图象的变换；而要想在教学中很好的突出重点，突破难点，这就需要学生能正确了解有关概念和理解图象制作原理，这是教学的关键。教学方法：讲授、启发、探究发现教学．教具：多媒体、实物投影仪，几何画板四、教学设计与教学媒体的运用根据新课程理念，要以学生发展为本，为学生的自主发展创设条件，学生不仅要增长学习知识，而且还要掌握学习知识的方法，就是学会学习，所以在本节中，充分利用多媒体资源，调动学生兴趣，在教师的引导下，学生逐渐得出画正弦曲线的方法，自己动手得到图象。通过创设情境，合理设置台阶，师生互动等方式让学生自主探究去获得知识，不断体验成功的快。1、本节课作图的思维方法和前面学生所学的作图方法有所不同，要取得好的教学效果，就需要我们认真梳理好讲解的顺序，采取适当的探究教学方法。根据教材内容的特点与学生的实际情况，本节课的教学方法是：观察、启发、探究相结合组织教学。因为：“观察”遵循了从具体到抽象的认识规律，为抽象概括奠定了基础。作图时，让学生在观察和实践中发现问题、解决问题，这样印象较深，记得牢。而实行探究式教学的关键，在于使学生有思考问题、发现问题、解决问题的要求，教师的责任就是创造条件，使学生成为学习的主人。具体操作设想：(1)以“察”之方式来激发学生探索。(2)以“探”之方式来启发4学生深思。(3)以“动”之方式来诱导学生灵活善变。(4)以“练”之方式来引导学生归纳总结。2、采用多媒体的表现方式，将教学的主要内容、图象等呈现在特定的显示设备上，以辅助教师的讲解，从而达到知识的高质量的传播。教师通过多媒体课件，将教学内容的重点、难点、作图过程，通过动画演示的方式表现出来，有利于学生的理解和接受，从而达到知识的有效传播。同时，它能够有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，从而形成学习动机。五、教学程序：本节课的教学程序，主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程作如下安排：1、导入．先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣．指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象．如何作出该曲线呢？以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动．2、几何法作图．引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图．先作出y＝sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出y＝sinx，x∈R的图象．同法得出y=cosx，x∈R的图象．3、多媒体展示．教师利用多媒体展示用Flash动画制作的课件，规范作图过程和步骤,统一认识y＝sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。54、“五点法”作图．曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤．5、总结．让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充．这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用．六、教学过程设计（一）、情景创设：（1）从具体实例教材30页（简谐振动）中获得正、余弦函数的直观印象（学生自主观察）.再来看两个简谐运动的例子。物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”。设计意图——以课本为纲，通过单摆实验和弹簧振子实验，让学生对正弦函数或余弦函数的图象有一个直观的印象，也可以借此实验激发学生听课的积极性和兴趣.（2）探究：如何利用数学方法精确地作出正弦、余弦函数的图象？设计意图——利用正弦线比较精确地画出正弦函数的图象.师生互动过程——复习正弦线的知识，提出问题如何在坐标系中准确地作出点，让学生自主探究回答，教师纠正其中错误.（二）、重点讲授探究环节：1、探究：能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数y＝sinx,x∈[0,2π]的图象呢？2、利用正弦线画y＝sinx,x∈[0,2π]的图象.（1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆.6（2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各点作x轴的垂线可以得到对应于0，，，，...，角的正弦线.（3）找横坐标：把x轴上从0到6.28这一段分成12等份.（4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应的12个点.（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y＝sinx,x∈[0,2π]的图象.设计意图——让学生自己动手作图，并归纳步骤。3、探究：如何作正弦函数y＝sinx,x∈R的图象呢？师生互动过程——由sin(x＋2kπ)＝sinx，k∈z可知只须作y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，然后将此图像左右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到y＝sinx，x∈R的图象。即正弦曲线。4.引出“五点法”作图设计意图——：提示学生从正弦线的“周而复始”的变化规律进行思考，利用其变化规律作图。自主探究过程——让学生自主观察找出y＝sinx,x∈[0,2π]图象上的五个关键点，介绍五点作图法，并强调五个点的选取由取值区间决定.生：关键五点：（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）。师：事实上，只要指出这五个点，y＝sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。设计意图：教师引导学生思考，学生利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换作出余弦函数图象。7（三）、巩固演练过程（例题探究）设计意图——让学生学会“五点法”作图与图象变换作图.例1：画出y＝sinx+1,x∈[0,2π]的图象。（动画演示五点法作图）.师生互动——教师分析，板书例1，作图步骤：列表（五点法）、描点、连线.学生自主探究——y＝sinx+1,x∈[0,2π]与y＝sinx,x∈[0,2π]图象之间的关系.总结归纳——要得到y＝sinx+k的图象只需将y＝sinx的图象向上（k0）或向下(k0)平移|k|个单位.例2：画出画出函数y=-cosx，的简图.（师生共同完成）让学生通过以有的知识画出y=cosx的图象，然后引导他们发现图象的实质.学生自主探究——余弦函数图象上的五个关键点，指出余弦函数同样可以采用五点法作图；设计意图：师生共同完成例题，巩固“五点法”。过程如下：解：（1）按五个关键点列表：x02322sinx010－101+sinx1210－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来：（2）按五个关键点列表：x02322cosx10－101－cosx－1010－18描点并将它们用光滑的曲线连接起来：思考：能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，x∈[0,2π]的图象来得到y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象？同样的，能否从函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象得到函数y=－cosx，x∈[0,2π]的图象？设计意图：使学生从图象变换的角度认识函数之间的关系归纳总结——图象的平移问题.例3、根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞x∈[0，2π]成立的x的取值集合设计意图——使得学生能够灵活应用他们自己所发现的“五点作图法”，并且能够将图象的平移利用起来.师生互动——共同完成例3，通过图象让学生观察图象的变换过程.（四）、变式探究演练设计意图——练习是是学生内化和巩固知识、形成技能技巧、发展智力的重要手段，是学生学习过程中的重要环节。根据教材内容，围绕本节的教学重点，我安排了以下练习，目的有二：(1)巩固新知；(2)从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础。练习的数量适度适量，紧凑而可以完成。练习：画出下列函数的简图1.利用单位圆中的三角函数线证明当0a2时,不等式sinaaa成立.2解不等式|sinx|cosx课堂设计:学生演练完毕后可采用实物投影仪将学生画的图象进行展示,当场修改其中的错误.（五）、课堂小结设计91、本节课学习了哪些内容？2、你学会了哪些学习方法？先让学生小结，然后教师小结：1、本节课先用平移正弦线的方法得到了正弦曲线在一个周期上的