正弦定理和余弦定理[高考数学总复习][高中数学课时训]

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利正弦定理和余弦定理1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a=.答案22.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为.答案3或323.下列判断中不正确的结论的序号是.①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案①③④4.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为.答案1035.（2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA=.答案33例1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.例2在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.解（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，cosC=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca2222·2222cbaab=-cab2整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB=acbca2222=acac2=-21∵B为三角形的内角，∴B=32.（2）将b=13,a+c=4,B=32代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB∴b2=16-2ac211,∴ac=3.∴S△ABC=21acsinB=433.例3（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cbCa)30sin(的值.解（1）∵cosA=bcacb2222=bcbc2=-21,2分又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.4分（2）由a=3,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.6分即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.8分高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利（3）由正弦定理得：CcBbAasinsinsin2R,∴CRBRCARcbCasin2sin2)30sin(sin2)30sin(10分=CBCAsinsin)30sin(sin11分=CCCCsin)60sin()sin23cos21(2312分=CCCCsin23cos23)sin43cos4313分=21.14分例4在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=2-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2bbcacb2222=b2aacbca2222∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.解（1）由正弦定理得BbAasinsin.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利∴b=45sin60sin8sinsinABa=46.(2)由正弦定理得sinC=430sin8sinbBc=1.又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22bc=43.2.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin2Ccos2C=4cos22C化简得：tan2C=2.从而tanC=2tan12tan22CC=-34.3.（2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.解（1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于3，所以21absinC=3，所以ab=4.联立方程组,4,422ababba解得22ba.（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=2，B=6，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组,2,422ababba解得.334332b，a高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利所以△ABC的面积S=21absinC=332.4.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.解方法一∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21.∵0＜B＜,∴B=3.∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.∴cosB=acbca2222=accaca2)2(222=21，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又∵B=3，∴△ABC是等边三角形.方法二∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B＜,∴B=3,∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin3=3.∴sinA+sinA32=3，∴sinA+sinAcos32-cosAsin32=3.化简得23sinA+23cosA=3,∴sin6A=1.∴A+6=2,∴A=3,∴C=3,∴△ABC为等边三角形.一、填空题1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是三角形.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利答案等腰2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsinsin的值为.答案533.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=41（b2+c2-a2），则A=.答案45°4.在△ABC中，BC=2，B=3，若△ABC的面积为23，则tanC为.答案335.在△ABC中，a2-c2+b2=ab,则C=.答案60°6.△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C=.答案45°或135°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.答案658.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值是.答案3或23二、解答题9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=3b,判断△ABC的形状.（1）证明因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在△ABC中，由余弦定理可得,cosB=acbca2222=acbcc22=acb2=aba22=ba2=BAsin2sin,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解因为a=3b,所以ba=3,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=acbca2222=22223443bbbb=23,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以△ABC为直角三角形.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利10.（2008·全国Ⅱ理，17）在△ABC中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA的值；（2）△ABC的面积S△ABC=233，求BC的长.解(1)由cosB=-135,得sinB=1312,由cosC=54,得sinC=53.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533.(2)由S△ABC=233,得21×AB×AC×sinA=233.由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CBABsinsin=1320AB,故1320AB2=65,AB=213.所以BC=CAABsinsin=211.11.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax2-222bcx-b=0(a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=103，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.解（1）设x1、x2为方程ax2-222bcx-b=0的两根，则x1+x2=abc222，x1·x2=-ab.∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=222)(4abc+ab4=4.∴a2+b2-c2=ab.又cosC=abcba2222=abab2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°.(2)由S=21absinC=103，∴ab=40.①由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°).∴72=(a+b)2-2×40×211.∴a+b=13.又∵a＞b②高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利∴由①②，得a=8,b=5.12.（2008·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，