正项级数相关知识点总结

正项级数相关知识点总结1110810115马舜1.给定一个数列{un}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u1+u2+...un+……称为数项级数。其中un为通项。记作1nun。若级数1nun的各项都是非负的实数，则称其为正项级数。2.正项级数收敛性的判别方法。（1）正项级数1nun收敛的充要条件是：部分和数列{sn}有界，即存在某正数M，对一切自然数n有SnM。（2）比较判别法设un和vn是两个正项级数，如果存在某正整数N，对一切nN都有unvn，那么1)若级数vn收敛，则级数un也收敛；2）若级数un发散，则级数vn也发散。（3）比较判别法的极限形式设un和vn是两个正项级数，若limn（un/vn）=p则1）当0p+时，un与vn同时收敛或同时发散；2）当p=0时且级数vn收敛时，un也收敛；3）当p=+时且vn发散时，un也发散。（4）比值判别法设un是正项级数，且存在某个自然数N0及常数q（0q1）。1)若对一切nN0，不等式（un+1/un）q成立，则级数un收敛；2）若对一切nN0，不等式（un+1/un）1成立，则级数un发散。（5）比值判别法的极限形式若un是正项级数，若limn（un+1/un）=q，则1）当q1时，级数un收敛；2）当q1或q=+时，级数un发散。（6）根值判别法设un是正项级数，且存在某个正数N0及正常数q1）若对一切nN0，不等式nunq1成立，则级数un收敛；2）若对一切nN0，不等式nun1成立，则级数un发散。（7）根值判别法的极限形式设un是正项级数，且limnnun=q，1）当q1时，级数un收敛；2）当q1时，级数un发散。（8）积分判别法设()fx为[1,+]上非负递减函数，那么正项级数()fn与积分()_afxdx同时收敛或同时发散。（9）拉贝判别法设un是正项级数，且存在某个自然数N0及常数q，1）若对一切nN0，不等式1(1(/))1nnnuuq成立，则级数un收敛；2)若对一切nN0，不等式1(1(/))1nnnuu成立，则级数un发散。（10）拉贝判别法的极限形式设un是正项级数，且极限1lim(1(/))nnnnuuq存在，则1）当q1时，级数un发散；2）当q1时，级数un收敛；3）当q=1时，拉贝判别法无法判断。例题证明221110(),lnln(ln)knnkknnnn.证明：因为21()0lnfxxx（x1），且单调减，所以2222111lnlnlnlnnnkndxdxxxkknnxx。（1）反复利用分部积分法，2222231112lnln(ln)ln(ln)(ln)nnndxdxdxxxnnxxnnnnxx又23323110,(ln)(ln)(ln)nndxdxxxnxnn所以223211lnln(ln)(ln)nndxxxnnnnnn（0n1）(2)将（2）式代入（1）得221110(),lnln(ln)knnkknnnn.（判别法（9）（10）为查找资料学习的，如果有错误，希望老师指导。例题为我找的一道感觉较难的题，望老师多多指教。）