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中考第25题专题之-----抛物线与特殊的四边形的存在性问题1．将抛物线c1：y＝－3x2＋3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图所示，抛物线m：y＝ax2＋b（a＜0，b＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．（1）当a＝－1，b＝1时，请直接写出抛物线n的解析式；（2）求证：四边形AC1A1C是平行四边形；（3）若四边形AC1A1C可能是矩形吗？若能，请求出a，b应满足的关系式；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y＝－m－13x2＋(m－2)x＋4m－7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）若Q是线段AC上一点，且S△COQ＝2S△AOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．Oxyc1c2OxyOxyCC1ABA1Oxy114．已知抛物线y＝16(x－2)(x－2t－3)（t＞0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且△ABC的面积为212．（1）求抛物线的解析式；（2）设l为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与l交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若△OAD∽△OEB，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q为直线l上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使得以P、Q、A、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线y＝3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、A、B为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线l1：y＝x2－4与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．（1）求证：点D一定在l2上；（2）试判断动点B运动到什么位置时平行四边形ABCD恰好是菱形，并求这个菱形的面积；（3）平行四边形ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．OyxxOyBADECCAOxyl2l1：y＝x2－47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．（1）请直接写出抛物线的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得以点P、O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（－3，0），B（1，0），与y轴负半轴交于点C，sin∠OBC＝255，点D的坐标为（0，－9）．（1）求二次函数的解析式；（2）点E在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，四边形ABCE是以AB为一底边的梯形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，过点E作直线EF⊥x轴于F，直线EF与线段AD相交于点G．问：在二次函数的图象上是否存在点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－4，0）、B（－2，2），连接OB、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．OxyBA－5－2－4－62yxOAOBxMyM10．如图，已知直线y＝－12x＋2与抛物线y＝a(x＋2)2相交于A、B两点，与x轴相交于C点，点B在y轴上，D为抛物线的顶点．P为线段AB上一个动点（点P不与A、B重合），过P点作x轴的垂线与抛物线交于Q点．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线与抛物线的对称轴交于点E，如果以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；（3）连接QD，探究四边形PQDE的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？如果能，求点P的坐标；如果不能，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），点C（0，2），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过．．．．点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点P，使△ADP为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围；（3）Q是y轴上一点，M是抛物线的对称轴上一点，且四边形BCMQ为等腰梯形，直接写出．．．．M点坐标．12．已知抛物线y＝ax2＋(a－3)x－3（a＞0）与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且sin∠ABD＝255．（1）求a的值；（2）点R在y轴上，抛物线上是否存在点Q，使得四边形ACQR是以AC为底的等腰梯形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（用备用图作答）yxOABCDyxOABCD备用图yxOABCD备用图yOxABC备用图OABxyCDE备用图OABxyCDE