武汉测绘科技大学99研究生平差试题

武汉测绘学院1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：测量平差科目代码775一、填空题(共20分，每空1分)。1、已知观测向量TLLLL],,[32113的协方差阵211140103LLD，单位权方差22，设有函数：，，3122112LLfLLf则：),(P)(D)(D)(12121Lffff，，，D)(Q)(P)(2132ffL，，LP。2、已知观测向量TLLL],[2112的协方差阵2113LLD，而1L关于2L的协因数5121LLq，则单位权方差。)(P),(P,)(21LL203、设观测值向量TLLL],[2112的权阵3112LLp，已知变换6515.05.012121LLyyy,则变换y的权阵yyP＝（），相比之下1y的精度比1L的精度（），2y的精度比2L的精度（）。4、某控制网，必要观测数t=3，有9个观测值。若设2个函数独立的参数，则按（）法进行平差，应列（）个条件方程和（）个误差方程。5、上题中，若选5个参数。就要按（）法进行平差，应列立（）个方程，其中（）个误差方程，（）个条件方程。二、某人租用全站仪承担如图1所示的极坐标放样任务。甲方要求P点放样精度为点位中误差绝对值mmp8，已知S=600m，A、B两点均无误差，现可租用的全站仪有三种，其租金和精度如下表：(图1)设每测回需要一个小时，问租用那种全站仪放样经济效益最高？为什么？（5102）。价格／小时mms秒高精度26元/时21中精度16元/时52低精度12元/时106（10分）三、在图2所示的边角网中，A、B为已知点，C、D是待定点，TAD是已知方位角，边长观测值为Si(i=1,2,3,4)，角度观测值为21、。该网若按条件平差法进行平差，试问：1、有多少个条件方程？各类方程各有多少个?2、列出全部条件方程（非线性条件方程要求线性化）（10分）(图2)四、在间接平差中，参数平差值PlBNXxXXTbb100ˆ，改正数向量lxBVˆ，试问X与V是否相关？试证明之。（10分）五、已知某直线baxy通过点（2，5），为了确定参数a、b，分别在,3121xx，5443xx，处同精度测得。，，，02.1799.1201.998.04321yyyy试列出估计ba、的法方程。（10分）六、有一测角网如图3所示，网中A、B为已知点，21pp、为待定点，同精度观测了8个角度，图上给出了各点的坐标值，以公里为单位。若按坐标平差进行平差，1、试列出20004504L的误差方程。（要求线性化，5102，坐标改正数以dm为单位）。2、为求平差后边长21PPS的相对中误差，试列出其权函数式？（15分）(图3)七、已知某控制点坐标平差值的协因数阵为0.21.01.02.1ˆˆxxQ，单位权中误差为)(0.5ˆcm。试求与误差椭圆长轴成夹角030方向上的位差。（10分）八、图4水准网中A是已知点，321ppp、、是待定点。第一次观测了41hh，第一次平差后，发现3个待定点高程精度达不到设计要求，为了提高精度，第二次观测了5h，设5条路线长度相等，试求按序贯法平差计算增加了观测值5h后，321ppp、、三个点高程平差值的权各增加了多少？（10分）(图4)试题分析及参考答案一、填空题1、本小题考察对协方差阵和权的定义、协方差与协因数的关系、协方差传播律的掌握情况。前三个空，直接利用协方差传播律可以求得，首先列出函数式21ff,的权函数式：21121dLLdLLdf，3122dLdLdf，应用协方差传播律得到：212212121434003LLLLLLDf，18122113122fD21122171022111401030LLLLDff。已知观测值向量的协方差阵，其对角线元素就是各观测值的方差，所以应用权的定义式22iiP/，求得各观测值的权为：12132321LLLPPP,,，21ff,的协因数为：)(212120217211LLDQffff。2、本小题考查内容与第1小题相同，若第一小题能正确解答，则本小题应也能顺利求解。已知1L关于2L的互协方差21LL为－1，互协因数21LLq为－1／5，根据互协因数的定义22121/LLLLq，就可得到520。求得了单位权中误差，已知观测值协方差阵，从而观测值的权：25P35L21，LP。3、本小题考察对观测值权阵的概念及其与协因数阵关系的理解，要注意在观测值之间误差不独立时，权阵中的元素是无定义的，所以首先要对权阵求逆，得到观测值的协因数阵4020206021-1-351QLL....，然后对给出的变换式应用协因数传播律，得到y的协因数阵：0.350.250.250.510.50.5121-1-310.50.5151Q＝yy。对yQy求逆得到权阵为：4.444222.2222.23.111QP1yy＝＝－yy。分析对比协因数阵yyQ和LLQ，较小的精度较高，所以1y的精度比1L高，2L的精度比2y高。4、本小题考察对测量平差基本数学模型的理解，需要弄清楚所设函数独立未知数数目与平差方法间的关系。本题目设所设参数函数独立，但数目小于必要观测数，所以平差方法是附有未知参数的条件平差方法。多余观测数本为6，现在加选2个参数，所以应列出8个条件方程，无误差方程。5、考察内容与上体相同，题设选5个参数，设为默认有三个函数独立参数，因此可以将所有观测值表示为未知参数的函数，既可以列出误差方程。但是由于最多只能选出3个函数独立的参数，所以5个参数间存在2个函数式，平差方法为附有限制条件的间接平差法。应列出11个方程，其中9个误差方程，2个限制条件方程。二、本题目考察对点位精度估算方法的理解和掌握情况。题设点位中误差绝对值要小于8mm，给出的条件是已知测距中误差、测角中误差及放样距离。根据点位中误差的平方是任意两个垂直方向误差分量的平方和，得到：22222msmmsp。显然低精度的全站仪纵向误差2sm＝100，已经超过精度要求。而将中等精度的全站仪精度指标代入计算检验，得到：648.588.33252pm。可见按一测回观测，精度就能符合要求，因此结论是：租用中等精度全站仪经济效益最高。三、本小题考察对必要观测数的理解和掌握，及能否正确列出条件方程并线性化。题设有两个待定点，所以未知参数为4，应有4个必要的函数独立观测值，但是网中有一多余已知方位角（即至少有一个端点为待定点的已知方位角），因此要减去一个必要观测值，所以必要观测数为3。1、必要观测数是3，观测值n=6，所以有3个条件方程。其中2个余弦条件，一个正弦条件2、条件式分别为为：（1）、余弦条件式2212221ˆ2ˆˆ)ˆ(sSssSTTCosABABABAD，423242ˆ2ˆˆ)(sSssSTTCosABABABAD（2）、正弦条件式：22214ˆ)ˆˆ180(SinSSinS（3）余弦条件式线性化后为：0)(2)2)cos(2(2111222111wvTTSinsSvsTTSvsABADABsABADABs21222121)(2ssSTTCossSwABABADAB0)2)cos(2(224433wvsTTSvssABADABs2324242)(2ssSTTCossSwABABADAB（4）正弦条件式线性化后为：0)()())(()(3422212242121212wvSinvSinvCossCossvCossss242122)(SinsSinsw四、要证明V、Xˆ两者是否相关，需要分别将它们表示为观测值的线性函数（矩阵式），然后对此应用协因数传播律，若有0QVˆX，即证得两者不相关，反之相关。证明：根据间接平差公式知：....1PLBNXTbb－，。....)(1LEPBBNVTbb根据协因数传播律，得到：0(Q1111111ˆ-bb-bb-bb-bbT-bb-bbT-bbVX-BNBN-BNPBNBBNE)QPBNPBBN。由此证得向量X和V不相关。五、本小题也是考察对平差基本原理的应用，及附有限制条件间接平差方法的掌握情况。题目给出直线方程中常数项和系数项是未知参数，但同时又给出了一个通过的点，因此常数项和系数项就存在一个函数关系052ba，即两个未知数中只有一个是函数独立的，必要观测数为1。所以解决此平差问题，要用附有限制条件的间接平差法。由题设条件列出4个误差方程为：98.01bav01.932bav99.1243bav02.1754bav一个限制条件方程：052ba按附有限制条件的间接平差法平差，组成法方程为：054007.165012141321351kba六、题目考察对间接平差法误差方程列立的掌握情况，本身无难点，但要求能熟练计算。分别列出坐标方位角211PPTTBP、改正数方程为：1、1111111pBPBppBPBpBPdySCosdxSSindT2、2212122121121211212121pPPPppPPPppPPPppPPPpPPdySCosdxSSindySCosdxSSindT已知：2253211BpBPS，。计算得：80142121PPppS，。从而得到观测角4误差方程为：255.25.22P114yppddydxv。注意：题目要求坐标改正数以分米为单位，而边长单位是公里，所以系数要乘以常数410，误差方程常数项直接按坐标反算两方位角之差减观测角得到。七、本小题考查对任意方向位差计算的掌握情况，本身无难点，但要求熟练计算。首先要列出点任意方向位差的计算公式。根据公式：yyxxxyQQQtg22代入数值得到：5585262558517205753452012014221201或＝α＝α..tg。由于0Qxy，所以极大值在第三象限，即极大值方位角是26258'55″极小值方位角是17258'55″。由：82.04)(22xyyyxxQQQk，得到：cmkQQmEyyxx09.7))(5.0(212，cmkQQmFyyxx45.5))(5.0(212.。72.630223022SinFCosE另外，也可以直接按公式：2sinsincos22xyyyxxQQQ计算，其中558529230E，计算结果相同。八、本小题考查对序贯平差方法的掌握情况，其中三阶矩阵求逆计算量较大，需要能熟练计算。设3个待定点高程平差值为未知参数，根据题设分别求得第一次观测及增加观测值5后法方程系数阵分别为：211120102和311120102，由于法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵（权逆阵），因此可分别求得为：42223121341和42225121581，逆阵对角线元素即未知点高程平差值权倒数,所以,权的增加值：1p154p154321＝、、p。