比值法的应用

齐次式比值法的应用陈未民（写于2014-4-1）例1.已知函数)0)(11()(xnxxxf,其导函数是'()fx。若斜率为k的直线与曲线y=)('xf交于))(,(),(212211xxyxByxA、两点，求证：211xkx。证明：1212121211)`()`(xxnxnxxxxfxfk要证121xxk，即证12212111xxxxnxnx，等价于证22212111111xxxxtxxxnx,令，则只要证111ttnt，由t1，知1nt0，故等价于证1ntt-1tlnt(t0)(＊)1()11(1),`()10(1)()[1,]gttnttgttgtt①设则故在上是增函数，1()11(1)0,11(1)tgttntgtntt当时，即()1(1)(1),`()10(1),()[1,]1()1(1)(1)011(1)httnttthtntthtthttntthttntt②设则故在上是增函数当时，，即由①②知（＊）成立，故211xkx【点评】构造齐次式并用比值法，然后转化为函数不等式的证明是一种常见的证明方法，其核心是就是减少变量的个数。例2.己知函数()ln1(0)fxxaxa。若()fx的图象与x轴交于1212(,0),(,0)()AxBxxx两点，AB中点为0(,0)Cx，设函数()fx的导函数为()fx,求证：0()0fx。由111222()0ln10,()0ln10,fxxaxfxxax得1212lnlnxxaxx12(0)xx'1200121212lnln122()xxfxaaxxxxxxx121121222()1[ln]xxxxxxxx=121112222(1)1[ln]1xxxxxxxx，令12(0,1)xtx，设2(1)()ln1thttt，(0,1)t则2'2241(1)()(1)(1)thttttt，又(0,1)t，'()0ht，()(1)0hth即1211222(1)ln01xxxxxx，又1210xx，0()0fx。例3.已知函数lnfxx，2102gxaxbxa的图象交于点,PQ，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交,fxgx的图象于点,MN求证：,yfxygx的的图象在点,MN的切线不平行。证明：记1,12212,,PxyQxyxx，则122MNxxxx，又1,fxgxaxbx，要证,yfxygx的的图象在点,MN的切线不平行，即要证121222xxabxx①同时211122221ln21ln2xaxbxxaxbx，两式相减得221121221ln2xaxxbxxx12122xxxxab要证①即要证1212122lnxxxxxx②又12122xxxx1212211xxxx，要证②即要证12112221ln1xxxxxx令120,1xtx，要证②21ln1thttt无零点，又222114011thttttt，ht在0,1单调递增10hthht在0,1内无零点从而,yfxygx的的图象在点,MN的切线不平行。【练习】（湖南2010年理数第20题）已知函数2(,)fxxbxcbcR，对于任意的xR，恒有fxfx。（Ⅰ）证明：当0x时，2fxxc；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意,bc，不等式22fcfbMcb，求M的最小值。