毕业论文—关于一阶微分方程解的研究

学号：080301158毕业论文论文题目：关于一阶微分方程解的研究姓名：袁婷学科专业：数学教育指导教师：桂旺生完成时间：2011年5月20日Ⅰ摘要本文运用罗尔定理，零点定理，拉格朗日中值定理，极值定理，泰勒公式来研究一阶微分方程的解存在性，唯一性，总结了3种根的存在性及唯一性的证明思路，并举例给以应用，进一步对方程解的个数进行了讨论。关键词：解的存在性；解的唯一性；解的个数Ⅱ目录第一章绪论…………………………………………………………………………………11.1引言……………………………………………………………………………11.2五个基本定理…………………………………………………………………1第二章一阶微分方程解的研究……………………………………………………………22.1关于方程f0x的解（或xf的零点）存在性的证明思路…………22.2方程xf=0的解的唯一性的研究…………………………………………32.3对方程0xf的解的个数的讨论…………………………………………4参考文献………………………………………………………………………………………7池州学院毕业论文1第一章绪论1.1引言研究微分方程解的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。牛顿建立微积分的同时，又简单的研究了微分方程用级数求解，后来瑞士学家雅各布贝努利，欧拉，法国数学家克雷洛，拉各朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。微分方程的存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的，本文主要来讨论方程是否有解，如果有解，是否唯一呢？如果不唯一，解的个数又是多少呢？1.2五个基本定理罗尔定理:设函数xf满足如下条件：在闭区间[ab]上连续,在开区间(ab)内可导,bfaf，则在(ab)内至少存在一个ε,使得0'f；零值定理：设函数xf在[ab]上连续，且0bfaf则在（ab）内至少存在ε,使得f0(ab)；拉格朗日中值定理：设函数xf满足条件：在闭区间[ab]上连续,在开区间(ab)内可,bfaf；在（ab）内至少存在ε,使得abafbf'f；极值定理：设函数xf在0x处可导，且在0x处取得极值，则0'f；泰勒公式：若函数f在[ab]上存在直至n阶的连续导函数，在（ab）内存在直至n阶的连续导函数，在（ab）内存在n+1阶的导函数，则对任意给定的0,xx[ab]，至少一点（ab），使得2000002xxxfxxxfxfxf10100111nnnnxxnfxxnxf；第二章一阶微分方程根的研究2第二章一阶微分方程解的研究研究方程的解，关键是看方程的根是否存在，若存在，是否唯一，若不唯一，那么方程的解是几个呢？2.1关于方程f0x的解（或xf的零点）存在性的证明思路ⅰ知道xf在[ab]或(ab)上连续，而没有说明xf是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明ⅱ做出xf的一个原函数xF。证明xF满足罗尔定理的条件，从而得出xf的零点证明。ⅲ用反证法证明例1：设xf在[ab]上连续，bfaf=0，0''bfaf证明:在(ab)内至少存在一点ε，使得0f[分析]本题仅xf在[ab]上连续，因而只能用零值定理证明证：由假设'fa与'fb同号，不妨设,0af,0bf由导数定义有0limaxafxfafax由极限定理知一个01当11axa时有0axafxf又af=0必定xf0同理由,0bf0bf，一个02当22bxb时，有0xf令021min，则当aax,1时，01xf当bbx,2时，02xf又显然xf在（21,xx）上连续，由零值定理，在（21,xx）内，从而在（ab）内至少一个ε，使得f0例2：设xf，xg在闭区间[ab]上连续，在（ab）内可导，且对于（ab）的一切x有0xgxfxgxf证明：方程xf=0的两个相邻的根之间至少有xg=0的一个实根池州学院毕业论文3证明：设21,xx（ab）,且21xx是xf=0的两个相邻的实根，若（21,xx）没有xg的实根，则可以在[21,xx]对函数xgxfx应用罗尔定理，于是存在（21,xx），使得02ggfgfx则有式子0gfgf与题中的条件0xgxfxgxf相矛盾，则有命题得证2.2方程xf=0的解的唯一性的研究，我们了解一下存在唯一性的定理，定理如下：如果yxf,在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程yxfdxdy,(1.1)存在唯一的解xy，定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件00yx，这里yxfMMhahRyx,max,,min,（利用罗尔定理证明xf=0至少存在一个解;①利用函数单调性证明xf=0最多有一个实数解;③也可以利用反证法来证明xf=0最多有一个实数解.下面的例题给以说明上面的证明唯一性的思路:例3：设函数xf在闭区间[01]上可微，对于[01]上的每一个x，函数xf的值都在开区间（01）内，且1xf，证明：在（01）内有且仅有一个x，使xf=x证明：令xxfxF，由题设知道xF在[01]上连续又由于10xf，所以0111,0000fFfF，由闭区间上的连续函数的零值定理可知：在（01）内至少一点x，使xF=0，即xxf另：用反证法证明xF在（01）内至多有一个零点，若不然21,xx（01），且21xx，使得，2211,xxfxxf,由拉格朗日中值定理，至少存在一个第二章一阶微分方程根的研究41,0,21xxx，使得11212xxxfxfxf与题中的条件1xf相矛盾综上所述，在（01）内有且仅有一个x，使xf=x.例4：设在[1]上处处有,0xf且f(1)=2,f'(1)=-3，证明：在（1）内方程xf=0仅有一个实数解证明：把xf在x=1处展成一阶的泰勒展式,因此xf=22121132121111xfxxfxff由题中的条件0f，则01212xf，于是，有xxxf35132，可知，取0x35时，00xf，又021f，由罗尔定理可知，35,1，使0f即方程xf=0，当1x时，方程有实数解.又由题设1x时处处有0xf，所以xf是单调递减的于是，当1x时31fxf可知，当1x时xf是严格单调递减函数，因此0xf最多有一个实数解，综上所述，在（1）内方程xf=0仅有一个实数解。2.3对方程0xf的解的个数的讨论方程根个数讨论的一般步骤如下：①求出xf的拐点和0xf的不存在点划分xf的单调递减性区间;②求出各单调之间的极值（或最值）;③分析极值（或最值）与x轴的相对位置。下面的例题给以应用.例5：讨论方程bxax，（1a）的解解：令bxaxfx，则xaxfbaln,i）当0b时，0xf，因此可知，xf是单调递增的函数,而,limxfxxfxlim，由罗尔定理及单调性可知，在（,）内存在且仅存在一个，使得0f，即0ba,所以bxax;池州学院毕业论文5ii）当0b时，令0xf,即0lnbaax,则有aabbaaxlnlnlnlogln0(拐点)，又因为0xf=0ln20axa，所以0x为xf的唯一拐点，因此ababaaaababbbaxflnlnlnlnloglnlnlog0ln=abablnlnln1ln=bebaalnlnln为xf在（,）上的最值，因此，当00xf，bebaalnlnln0，则1lnbea,所以当aebln时，方程xf=0有两个实数解;当0xf时，即1lnbea，亦即aebln0时，方程没有实数根;当xf=0时，即1lnbea，即aebln时，方程有唯一的实数解;当b=0时，原方程可以推得0xa，所以方程没有实数解.例6：证明方程dxxexx02cos1ln在（0）内有且仅有两个不同的实数解证明：dxx02cos1=dxxdxx002sin2sin2=22cos2sin200xdxx令exxFx22ln，则exxF11,令0xF，则有x=e，下面列表判极值点，如见表一：表一判断极值点由上表可以知道xF在（0e）与(e)分别至多有一个零点，又因为x=e是xF在（0）上的唯一拐点，所以22eF是xF在（0）内的极大值，因此它是xF在（0）内的最大值，又由于0eF，而x(0，e)e(e，)xF正数0负数xF递增22eF极大值递减第二章一阶微分方程根的研究6,22lnlimlim00exxFxxxxFxlim可以知道xF在（0e）与(e)分别至少有一个零点，故xF在（0）内有且仅有个不同的实数解即方程dxxexx02cos1ln在（0）内有且仅有两个不同的实解.池州学院毕业论文7参考文献[1]王高雄,周之铭等常微分方程[M].北京.高等教育出版社.2001年3月第三版；[2]华东师范大学数学系数学分析[M].北京.高等教育出版社.2001年7月第三版；[3]同济大学数学系研究室高等数学[M].北京.高等教育出版社.2001年6月第四版。[4]丁同仁，李承治.《常微分方程教程》[M]高等教育出版设,1991.8致谢经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个毕业生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有桂旺生老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的．在这里首先要感谢我的指导老师．桂老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导．除了敬佩桂老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．本论文的写作参考、引用了一定的书籍和文献，在此向这些文章的作者表示深深的谢意.然后还要感谢大学三年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业设计才会顺利完成．最后，再次感谢所有关心和爱护我的老师、亲人、同学和朋友！