求二次函数的解析式及二次函数的应用

1求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h0，k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0，k0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到2y=a(x-h)2+k的图象。3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=ab，x1*x2=ac(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+abx+ac)=a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a0时，开口方向向上；a0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；四、二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a，b，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a，b，c的方程，联立求解，再把求出的a，b，c的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。⑴典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解：设函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，∴y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），3∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。⑵典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．⑴典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2（a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。⑵典型例题二：告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。如果a0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。4点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3,解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。⑶典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：①已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.②已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.③已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.④二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．⑷典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为_______。点拨：解：先将y=x2-3x+5化为y=(x-23)2+5-49,即y=(x-23)2+411。∵它是由抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-23+3)2+411+2=(x+23)2+419=x2+3x+7。作业典型题2014.6.81、如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．5分析：（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点．矩形二边与三角形二直角边重合．答：解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10，∵S△ABC=21AC•BC=21AB•CI，∴21×6×8=21×10×CI，∴CI=4.8；∴△ABC中AB边上的高h=4.8．（2）∵水池是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，∴CH/CI=GF/AB，∴8.4x8.4=10GF，∴GF=10-1225x，∵10-1225x＞0，∴0＜x＜524，设水池的面积为y，则y=x（10-1225x）=-1225x2+10x，当x=-1225210=2.4时，水池的面积最大；（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，∴FE∥CI，∴△BFE∽△BCI，∴FE：CI=BE：BI，又∵FE=2.4，CI=4.8，在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，6∴BE=CIBIFE*=8.46.34.2=1.8，∵BE=1.8＜1.85，∴这棵大树在最大水池的边上．为了保护这棵大树，设计方案如图：2、如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B．C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．（1）求二次函数的解析式；（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．（4）求出当x为何值时P有最大值？分析：（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx2+4m，求得m=1/2，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．（4）此题就是将p关于x的解析式看成抛物线的解析式，求其顶点即可．解答：解：（1）∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），∴4m=2，即m=1/2，∴抛物线的解析式为：y=-21x2+2；（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，∴AD∥x轴，又由抛物线关于y轴对称，所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．∵A在x轴的负半轴上，∴x＜0，所以AD的长为-2x，AB长为y，所以周长p=2y+（-4x）=2（-21x2+2）-4x=-（x+2）2+8．∵四边形ABCD为矩形，∴y＞0，即x＞-2．所以p=-（x+2）2+8，其中-2＜x＜0．（3）不存在，7证明：假设存在这样的p，即：9=-（x+2）2+8，解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．（4）由p=-（x+2）2+8，且-2＜x＜0．故p没有最大值．3、如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=34x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N，