求二阶线性非其次微分方程通解的方法

求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法摘要：二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位，本文提出了三种解法。一种是课本介绍的常数变易法，先求得对应的齐次微分方程的基本解组，然后求非齐次方程的通解；第二种是对某些特殊类型的非齐次方程，可以运用比较系数法方便求解；第三种是在先求得对应的齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，得出了一种运算量较小的二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式，并用实例证明该方法是可行的。关键词：二阶常系数非齐次微分方程;通解；特解；基本解组1.引言微分方程和日常生活联系是比较紧密的，在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型等的求解过程中，经常会导出微分方程。而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微分方程，探讨求出它通解的方法就显得至关重要。本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法中，常数变易法和降阶法可方便地求出一般方程通解，但要求被积函数可积，当被积函数不可积时可采用数值解法，本文不作详述。2.二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶线性常系数非齐次微分方程：)(xfqyypy(1)其中qp,为实常数,)(xf为其定义域内连续函数。则方程(1)对应的齐次线性方程为：y0qyp(2)本文给出了三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法：2.1常数变易法由线性微分方程的相关知识可知，如果已知(1)对应的齐次线性微分方程(2)的基本解组，那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。因此，求非齐次线性微分方程(1)的通解，关键是求出齐次线性微分方程的基本解组。下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次微分方程也适用。考虑n阶线性常系数非齐次微分方程：)(1)1(1)(xfypypypynnnn(3)2.1.1求基本解组对于常系数线性微分方程(3)，有一种求基本解组的方法——欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）。n阶齐次微分方程：01)1(1)(ypypypynnnn(4)的特征方程为：0111nnnnprprpr(5)该方程的根即为特征根，下面根据特征根的不同情况分别简述15,14,2：①特征根是单根的情形：设nrrr,,,21是特征方程(5)的n个互不相同的根，则(4)有基本解组xrxrxrneee,,,21，即(4)的通解可以表示为：xrnxrxrnecececxy2121)(，其中nccc,,,21任意常数。（注：如果特征方程有一对共轭复根ir，则该复根对应两个实值解xexexxsin,cos）②特征根有重根的情形：设特征根r是特征方程(5)的k重特征根，则对应该特征根，n阶齐次微分方程(4)有解rxkrxrxrxexexxee12,,,,,所有解的线性组合即为齐次方程(4)的通解。（注：对应k重特征根ir，方程(4)有实值解xexxexxxexerxkrxrxrxcos,,cos,cos,cos12xexxexxxexerxkrxrxrxsin,,sin,sin,sin12）2.1.2用常数变易法求原非齐次方程通解设由上述1.1.1的方法解得的基本解组为)(,),(),(21xyxyxyn，则(4)的通解为)()()()(2211xycxycxycxynn，将常数ic当作关于x的函数)(xci，把)()()()()()()(2211xyxcxyxcxyxcxynn代入原非齐次方程(3)，按照教材所介绍方法再构造1n个约束条件，这样可得到含n个未知数)(xci的n个方程，它们组成一个线性代数方程组:)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211xfxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxyxcxynnnnnnnnnnnnnn该方程组系数行列式即为朗斯基行列式)](,),(),([21xyxyxyWn，它不等于零，因而方程组的解可唯一确定，那么原非齐次方程(3)的通解也随之确定15,7,5,2。2.2比较系数法对常系数非齐次线性微分方程：)(1)1(1)(xfypypypynnnn(6)当)(xf具有某些特殊形状时可用比较系数法求解，其特点是不需要通过积分而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解，比较简单方便。然后由上面介绍的特征根法求出对应齐次方程的通解，由非齐次线性微分方程通解结构定理即可求出非齐次方程(6)的通解，即(6)的通解等于(6)的一特解与对应齐次方程的通解之和，因此关键是求出该方程某一特解。下面分为两种类型简述求特解的方法14,10,9,2：①设rxmmmmebxbxbxbxf)()(1110，其中r及ib),,2,1(mi为实常数，那么方程(6)有形如：rxmmmmkeaxaxaxaxy)(~1110(7)的特解，其中k为特征根r的重数（单根相当于k=1；当r不是特征根时，取k=0），maaa,,,10是待定常数，可以通过比较系数法来确定。②设xexxBxxAxfsin)(cos)()(，其中,为常数，而)(),(xBxA是带实系数的x的多项式，其中一个次数为m，另一个次数不超过m，那么方程(6)有形如：xkexxQxxPxysin)(cos)(~(8)的特解，这里k为特征根i的重数，而)(),(xQxP为待定的带实系数的次数不高于m的x的多项式，可以通过比较系数法来确定。2.3降阶法设方程(1)的通解为uvxvxuxy)()()(，即寻找两个函数)(xuu，)(xvv,使得uvy为方程(1)的通解。则vuvuvuyvuvuy2,，将yyy,,代入(1)化简得：)()()2(xfvquupuvpuuvu(9)在(9)中不妨令：quupu=0(10)显然(10)为二阶常系数齐次线性微分方程，此时可取rxeu(11)即可，其中r为方程(10)的特征方程的一个特征根。将(10)和(11)代入(9)化简得：rxexfvprv)()2((12)方程(12)为可降价的微分方程，利用可降价的微分方程的求解方法可求得通解13,12,11,8。下面简述线性微分方程的降阶法的两个定理9,1：定理1：设)(xg是二阶常系数非齐次线性微分方程(1)对应的齐次微分方程(2)的一个特解，即0)()()(xqgxgpxg，那么(1)的解可表示为：}])()([)(1){()(212cdxcdxexgxfexgxgxypdxpdx(13)定理2：设01)1(1)(ypypypynnnn(14)是n阶线性常系数齐次微分方程，其中nppp,,,21为已知常数。那么方程(14)存在一个特解rxey，其中r是方程(14)的特征方程的一个根。再来看上述方程(12)，其对应的齐次方程为：0)2(vprv(15)显然方程(15)的特征方程有一个特征根0r,由定理2知方程(15)有特解1)(xg，再由定理1中(13)式知方程(12)的通解为：21)()2(])([)(cdxcdxexfexvxprdxpr，其中,1c2c为任意常数。由此得方程(1)的通解为：}])([{)()()(21)()2(cdxcdxexfeexvxuxyxprdxprrx综上所述，可以把求解二阶线性常系数非齐次微分方程(1)的通解结论归纳如下13,9,1：结论：对于二阶线性常系数非齐次微分方程(1)，假设(1)对应的齐次方程(2)的特征方程有特征根r,则方程(1)的通解为：)(xy}])([{21)()2(cdxcdxexfeexprdxprrx(16)其中,1c2c为任意常数。说明：设齐次方程(2)的特征方程的特征根为21,rr，①若21rr，这时取21,rr之一作为r的值代入(16)中即可。②若rrr21，因为21,rr是(2)的特征方程的根，所以prrr221，即02pr，代入(16)中化简可得此时通解为：}])([{)(21cdxcdxexfexyrxrx(17)③若ir2,1，这时取21,rr之一作为r的值代入(16)后在求得的解中取实部即为(1)的通解，即)(xyRe[}])([{21)()2(cdxcdxexfeexprdxprrx]。(18)2.4例题下面以三道例题将上述三种方法作一比较：例1：求二阶常系数微分方程133222txdtdxdtxd的通解14,2。解：Ⅰ.原方程对应的齐次方程为032xxx，其特征方程有特征根1,321rr，则其基本解组为ttee,3应用常数变易法，令ttetcetctx)()()(231将它代入方程，可得到决定)(),(21tctc的两个方程：13)()(30)()(213213ttcetcetcetcetttt解得：ttettcettc)13(41)(,)13(41)(231分别积分得：131)23(121)(cettct，22)23(41)(cettct于是原方程通解为ttetcetctx)()()(23131231tecectt其中21,cc为任意常数。Ⅱ.由特征根法知原方程对应的齐次方程通解为ttececx231其中21,cc为任意常数，下面再求非齐次微分方程的一个特解，这里13)(ttf，0r，且0r不是特征根，由方法二中类型①知方程有形如btax~的特解，代入原方程得：13332tbtab比较系数得：33132bab解得31,1ab，从而tx31~，因此，原方程通解为：)(tx31231tececttⅢ.不妨取特征根3r,(这里3,2qp,13)(ttf)代入(16)中可得原非齐次微分方程的通解为：}])13([{)(2143cdtcdteteetxttt31332tecectt其中4,132ccc为任意常数。例2：求微分方程xexyyy12的通解6,3。解：Ⅰ.原方程对应的齐次方程为02yyy，其特征方程有特征根121rr，即有重根，所以基本解组为xxxee,应用常数变易法，令xxxexcexcxy)()()(21将它代入原方程，得到决定)(),(21xcxc的两个方程：xxxxxxexxeexcexcxexcexc1))(()(0)()(2121解得：xxcxc1)(,1)(21分别积分得：2211ln)(,)(cxxccxxc于是原方程的解为：xxxexcexcxy)()()(21xxxecxecx)(ln)(21xexxxcc)ln(31其中1,231ccc为任意常数。Ⅱ.本题中，xexxf1)(，不符合比较系数法中的两种类型，因此不能采用比较系数法求解。Ⅲ.原方程对应的齐次方程的特征根为重根1r（这里xexxf1)(），由说明②，直接代入(17)中得：}]1[{)(21cdxcdxeexexyxxx])(ln[21cdxcxex])ln[(21cxcxxxexxexxxcc)ln(42