求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方

1求函数值域的方法求函数值域的方法有图象法，函数单调性法，配方法，平方法，换元法，反函数法（逆求法），判别式法，复合函数法，三角代换法，基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。1、求13xxy的值域解法一：（图象法）可化为3,431,221,4xxxxy如图，观察得值域44yy解法二：画数轴利用在数轴上的距离表示实数baba,可得。解法三：（利用绝对值不等式）414114)1(134)1()3(13xxxxxxxxxx所以同样可得值域2、求函数5,0,522xxxy的值域解：对称轴5,01x20,420,54,1maxmin值域为时时yxyx3、求函数xxy12的值域解：（换元法）设tx1，则)0(122ttty4,41,01max值域为，时当且开口向下，对称轴ytt4、求函数)1,0(239xyxx的值域解：（换元法）设tx3，则31t原函数可化为-103-10134-4xyx28,28,3;2,13,121,2maxmin2值域为时时对称轴ytytttty5、求函数xxy53的值域解：（平方法）函数定义域为：5,3x2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy6、求函数)0(2xyx的值域解：（图象法）如图，值域为1,07、求函数xxy2231的值域解：（复合函数法）令1)1(222xxxt，则)1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,318、求函数21xxy的值域解法一：（反函数法）1121,yyyyxx原函数值域为观察得解出解法二：（利用部分分式法）由1231232xxxy，可得值域1yy小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。10xy39、求函数133xxy的值域解法一：（反函数法）10013yyyx01原函数的值域为小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。解法二：（复合函数法）设tx13，则111131113113ttyxxx101101ytt01原函数的值域为10、求函数21xxy的值域解：（三角代换法）11x设,0cosx2,12,1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设22sin,cosryrx其中2,011、求函数1122xxy的值域011t1t4解法一：（逆求法）110112yyyx11原函数的值域为解法二：（复合函数法）设tx12，则)1(211212ttxy1,1112201原函数值域为ytt解法三：（判别式法）原函数可化为010)1(2yxxy1）1y时不成立2）1y时，110)1)(1(400yyy11y综合1）、2）值域}11|{yy解法四：（三角代换法）Rx设2,2tanx，则1,12cos,22costan1tan122y原函数的值域为}11|{yy12、求函数34252xxy的值域解法一：（判别式法）化为0)53(422yyxyx1）0y时，不成立2）0y时，0得500)53(8)4(yyyy50y综合1）、2）值域}50|{yy201t2t51tt505解法二：（复合函数法）令txx3422，则ty511)1(22xt50y所以，值域}50|{yy13、函数11xxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为01)1(2xyx,31,1304)1(02原函数值域为或yyy解法二：（基本不等式法）1）当0x时，321yxx2）0x时，12)(1)(1yxxxx综合1）2）知，原函数值域为,31,14、求函数)1(1222xxxxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为02)2(2yxyx,221220)2(4)2(02原函数值域为舍去或yxyyyy解法二：（基本不等式法）原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy当且仅当0x时取等号，故值域为,215、求函数)221(1222xxxxy的值域解：令tx1，则原函数可化为)31(1ttty利用函数tty1在1,0上是减函数，在,1上是增函数，得6原函数值域为310,2小结：已知分式函数)0(2222dafexdxcbxaxy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为)(二次式一次式或一次式二次式yy的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(xxaxy的单调性去解。