1求函数周期的方法一、定义法周期函数的定义:设函数()fx定义在数集D上,若存在常数T0,xD,且f(x+T)=f(x),则fx为周期函数,称其中最小的正常数T为最小正周期。例1:求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.例2:求函数xy2sin的最小正周期根据定义0T,因为22sinsin0xTx,即222sincos2cossin02222xTTxTT,亦即sin2sin0xTT,由此可得sin20xT或者sin0T由于sin20xT的通解为2TKx,显然它是依赖于x,因此求不出依赖于x的非零常数解,即这样的T不能作为周期。由sin0T,得最小的非零正数解为T,即它不依赖于x,所以2sinyx是周期函数,且其周期为T.性质结论:(1)若T是()yfx,x∈A的周期,则T也是()yfx的周期.(2)若T是()yfx,x∈A的周期,且()xnTAnZ,则nT也是()yfx的周期.(3)设()fx有最小正周期T,那么除(1,2,3)nTn外,函数()fX无其他周期。(4)若fx是周期函数,则fx也是周期函数,反之不正确。2(5)若fx是定义在,上的周期函数,且0fx,则1fx也是周期函数,且与fx相同的周期。(6)若fx是定义在,上的周期函数,且0fx,则1fx也是周期函数,且与fx相同的周期。(7)可导的周期函数的导函数也是周期函数。又若对于原函数存在的连续的周期函数()fx(T是其最小正周期)有,0()0Txfxd,则其原函数也是周期函数,且它们的周期相同。例:2()sinfxx,因为2(sin)sin2,xx而sin2x的周期T。(8)设x是以T为周期的周期函数,()fx是任意函数,则复合函数fx必也是以T为周期的周期函数,此时fx的最小正周期不一定就是x的最小正周期。例:2sinfxx可看成2,singx复合而成,显然2sinx的最小正周期0T,而sinx的最小正周期02T二、最小公倍数法若函数()fx与()gx都是定义在D上的周期函数,周期分别为1T与2T,且12TaT,a为有理数,则,,ffgfgg都是D上的周期函数,其周期T为1T与2T的最小公倍数。例3:4cos5sin45xxfx,因为cos4x与sin5x都是周期函数,且最小正周期分别为1T=8,2T=10,1245TT,为有理数,所以()fx也是周期函数,且最小正周期为40。3三、图像法例4:求函数1)3sin(2xy的最小正周期(2)四、公式法例5:求函数xxxxxf3coscos3sinsin)(的最小正周期()五、单位圆法例6:求函数xxy2tan1tan2的最小正周期()六、等周期法理论依据:若对于任意的Mx,都有),()()(xfTxfxgTxg且函数)(xfMx的最小正周期为T,则函数))((Mxxg的最小正周期也为T。例7:求函数5sin31sin2)(xxxf的最小正周期(2)