求函数解析式的方法

1求函数的解析式的方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一．换元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值范围。例题1．已知f(3x+1)=4x+3,求f(x)的解析式.令t=3x+1，x=31t354)(3314)(ttfttf354)(xxf练习1．若xxxf1)1(,求)(xf.二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。一般的利用完全平方公式。例题2．已知221)1(xxxxf,求)(xf的解析式.2)(2)1()1(22xxfxxxxf练习2．若xxxf2)1(,求)(xf.2三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例题3．设)(xf是一元二次函数,)(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,求)(xf与)(xg.解;设cbxaxxf2)(,则g(x)=2x(ax2+bx+c)练习3．设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求)(xf的表达式.3四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f（x）的解析式例题4．设函数)(xf是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,求)(xf的解析式.五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x0时，f(x)的解析式，求x0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)例题5设)(xf是偶函数,当x＞0时,xexexf2)(,求当x＜0时，)(xf的表达式.由x0时，xexexf2)(，则xxeexexexf22)()(由f(x)为偶函数，得f(x)=f(-x).当x0时，xeexxf2)(故：f(x)=0,0,22xeexxeexxx练习6．对x∈R,)(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时,xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表达式.4六．相关点法：一般的，设出两个点，一点已知，一点未知，根据已知找到两点之间的联系，把已知点用未知点表示，最后代入已知点的解析式整理出即可。（轨迹法）例题7：已知函数y=f(x)的图像与y=x2+x的图像关于点（-2，3）对称，求f(x)的解析式。解：设（x,y）为f(x)上与y=x2+x关于（-2，3）的对称点，（a,b）为y=x2+x上的点故，3222byax，ybxa64，代入y=x2+x，得)4()4(62xxy672xxy练习8．已知函数12)(xxf,当点P(x,y)在y=)(xf的图象上运动时,点Q(3,2xy)在y=g(x)的图象上,求函数g(x)七．特殊值法：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式。例题8：函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。解;令x=1,y=0代入得，f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=-2故，令y=0,得5f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x所以：2)(2xxxf八．图像法：观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。注意定义域的变化。例题9（安徽07）．图中的图象所表示的函数的解析式为（B）Ａ．312yx(02)x≤≤Ｂ．33122yx(02)x≤≤Ｃ．312yx(02)x≤≤Ｄ．11yx(02)x≤≤总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域，这是容易遗漏和疏忽的地方。32yx12O第7题图