求极限的方法总结

1求极限的方法总结1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41xxx【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。【解】4)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx习题：233lim9xxx22121lim1xxxx2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim323xxxx【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim13lim311323xxxxxxx【注】(1)一般分子分母同除．．．．．．．．x．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x．是趋于无穷的．．．．．．nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011习题3232342lim753xxxxx2324n1limnnnnn1+13lim3nnnnn（-5)（-5)nnnnn323)1(lim23．分子(母)有理化求极限例1：求极限)13(lim22xxx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx0132lim22xxx例2：求极限30sin1tan1limxxxx【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim303041sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键习题：2lim1xxxx1213lim1xxx4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）22034lim2xxxx【其实很简单的】5.利用无穷小与无穷大的关系求极限例题33lim3xxx【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为0而分母为0时就取倒数！】6.有界函数与无穷小的乘积为无穷小例题sinlimxxx,arctanlimxxx37.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex,abxaxxxb~11,21~cos12；(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。例1：求极限0ln(1)lim1cosxxxx【解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.例2：求极限xxxx30tansinlim【解】xxxx30tansinlim613lim31coslimsinlim222102030xxxxxxxxxx习题)arctan()31ln(lim20xxxxxxxxsin)1sintan(lim20xxeexxxsinlimsin0320sintanlim(11)(1sin1)xxxxx8.应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，4例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。例1：求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1，最后凑指数部分。【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx例2203cos1limxxx解：原式=61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx例3xxx20)sin31(lim解：原式=6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx。例4nnnn)12(lim解：原式=313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn习题：(1)xxx211lim；(2)已知82limxxaxax，求a59.夹逼定理求极限例题：极限nnnnn22212111lim【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】nnnnn22212111lim因为11211122222nnnnnnnnn又nnnn2lim11lim2nnn所以nnnnn22212111lim＝１习题:证明下列极限n1lim11n222n111lim(...)12nnnnn10.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。11..利用1nnxx和与极限相同求极限例题:已知),2,1(,2,211nxxxnn，求nnxlim解：易证：数列}{nx单调递增，且有界（0nx2），由准则1极限nnxlim存在，设axnnlim。对已知的递推公式nnxx21两边求极限，得：aa2，解得：2a或1a（不合题意，舍去）所以2limnnx。12.换元法求极值6此后,还将学:13.用导数定义求极限14.利用洛必达法则求极限15.利用泰勒公式求极限16.利用定积分的定义求极限17.利用级数收敛的必要条件求极限