求解行列式的方法和技巧

’%第#%卷专辑陕西师范大学学报（自然科学版）456.#%+,-.!#年/月75,89:65;+::9=?58@:6A9B38CDE（?:D,8:6+F39F3GHD59）2-8.!#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：%%$#()（*!#）+,-.$!’$/求解行列式的方法和技巧齐成辉（咸阳师范学院数学系，陕西咸阳*!%）摘要：行列式的求解是高等代数中一个非常重要的内容，常规作法是用行列式的性质和相关定理求解.本文介绍了几个非常规求解方法，即导数法、代数方程组法、分离线性因子法、积分法等，以拓宽行列式解题思路.关键词：行列式；导数；积分；函数中图分类号：0%)%1!!文献标识码：2高等代数中关于行列式求解，通常都是如何用性质、展开式、特殊形等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，所以学生们无法触及到这方面的知识，不利于培养厚基础，宽口径人才.本文以用数学分析手段求解行列式为例，作了这方面的尝试.!导数法这种方法是利用已知行列式巧妙地构造以函数作为其元素的行列式，再利用!阶行列式求导的结果是!个行列式之和，且每个行列式是由一行求导而其它各行不变所构成（或一列求导而其它各列不变所构成）%%⋯%%%!⋯%!%!!!%%!⋯%!%###例!计算!阶行列式#!$⋯⋯⋯⋯%%!⋯%!%!&%%!!&%!!&%!%%!⋯%!解我们用导数来解决这一问题设（’(）$3(((%%’%!((⋯’(%!(令)（!(）$%%’%%%!’%!⋯%!’!（%）⋯⋯⋯⋯%!&%(!&%(⋯!&%(%’%%%!’%!%!’%!收稿日期：!#$%$%作者简万介方：齐数成据辉（%&’%—），男，陕西乾县人，咸阳师范学院讲师!!⋯!&!⋯&⋯⋯⋯&⋯⋯万方数据&%&%⋯&#*%⋯&!专辑齐成辉：求解行列式的方法和技巧&由范得蒙行列式，得###!（#）$%!&!（&()&’）*（）由（!）式知!（!’(#）的导数是个行列式之和，但只有对第一行求导所得的行列式不为零，其余)!个行列式都因有两行相同而等于零，这样按行列式求导的规则可得###!+（#）$!%&!&&!%&⋯%,*（#）又%#&!%#&⋯%#&$%!&!-!&-⋯-!&由（）式得!+（#）$!-!&!&-⋯-!#&&!#%&#%&!（&()&’）*（$）因为（#）右边$（$）右边，所以###!’(,$（&!&⋯&）!-&-⋯-&（&()&’）*!代数方程组法!’(当所求行列式是由个元素组成的，若用曾求解过的行列式作系数行列式，构造一个元线性方程组，所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分，于是就可依下面的方法求解*例!设,是行列式，而,是范得蒙行列式（如下）：!!⋯!&!&⋯&!&⋯&&,$，⋯⋯⋯⋯!&⋯&&)&))!&⋯&,$!&⋯&$!（&()&’）*!#’#(#!&)!)!,)!于是当&($&（’($’）时，比值,是线性方程组!!，⋯⋯⋯⋯#!-&#-⋯-&)!#$&的解中#的值，又这个方程组可看做是.)#.)!)⋯)#.)#!$%（*系数视为#!，#，⋯，#，未知数为.）有个根&!，&，⋯，&，于是由高次方程根与系数的关系有#$&!-&-⋯-&，%!$$’陕西师范大学学报（自然科学版）第$!卷因此!#（$!%$%⋯%$）!（$&($’）)!&’!假若有某$&#$（’&#’），易看出结论仍成立)!分离线性因子法这种方法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，经过变换后，发现它可被一些线性因子所整除，这意味着（如果这些因子互素）它也可被这些因子的积所整除)利用这一特性，可求得行列的值)例!计算行列式!##*+,*#,+)+,#*,+*#解把第，$，%列都加到第!列上，由多项式整除的概念，有*%+%,-!；如果对第!列加上第列减去第$列和第%列后，同样有+%,(*-!；如果对第!列加上第$列减去第列和第%列后，同样有*(+%,-!；如果对第!列加上第%列减去第列和第$列后，同样有*%+(,-!；这意味着有（*%+%,）（+%,(*）（*(+%,）（*(+%,）-!)因为，这四个因子的乘积包含,%，带有系数(!，而行列式本身包含同一项,%，却系数为%!，所以有!#(（*%+%,）（+%,(*）（*(+%,）（*(+%,）#*%%+%%,%(*+(*,(+,)#积分法这种方法用于当所求行列式中有一列看做一个与有关的函数的定积分时，把积分号提到行列式的外面后，所求的行列式即变成了易求解的形式)例#求%!阶（设为偶数）行列式的值)!⋯!⋯!%!#$)⋯⋯⋯⋯⋯!%!%!⋯%!%解!%!可看做一个%!阶行列式的积分!⋯!!⋯!*&*#*&*!%!#$##⋯⋯⋯⋯⋯万方数据!%!%!⋯%!!*%!&*##(!(!!专辑齐成辉：求解行列式的方法和技巧#’!!!#⋯!!###⋯!##!⋯⋯⋯⋯⋯!!#!#!#!⋯!!#!!#!$$上式中作为被积函数的行列式，当第!，#，⋯，!，!#!列分别提出公因子!，#，⋯，!，后，余下的是一个!#!阶范得蒙行列式$!于是%!#!&!’（(!）（(#）⋯（(!）$（其中，’是与无关的常数）$作变换：&!#)，由于!是偶数，所以有!#%!#!&’!#!)##)##(!⋯（)#!）（))(!）⋯)(!#$&!#’（)!#)#(!#）（)#(##）⋯)#(!##$$上面的积分区间为对称区间，被积函数是奇函数，故积分值为，即得%!#!&（常数’）$不必计算以上我们给出了用数学分析求解行列式的几种方法，可以看出其解法独特、新颖，这实际上是几何与代数结合（解析几何）思想的一次实践，可用这种思想来研究与此相似的问题（如用数学分析来解决多项式问题）$参考文献：［!］张禾瑞，郝钅丙新%高等代数［&］%北京：高等教育出版社，!’’%［#］王萼芳%高等代数［&］%上海：上海科学技术出版社，!’’!%［(］武汉教育学院，等%高等代数［&］%北京：高等教育出版社，!’’)%〔责任编辑王勇〕!#$$%&’()*$+*,#-.,/()*$+(&’0(,(12#-*-,*+,-./01-23（4.56789./8:;&68-.9683=，36/?6/0@.6-.7=,:AA.0.，3B6/C!)#，D-66/E3，,-3/6）34%,1*5,：FG6A2683/08-.G6A2.:;$.8.793/6/83=657.88?395:786/8:/8./83/-30-.76A0.H76%@-.:99:/I6?3=8:2=.8-.;.6827.:;$.8.793/6/86/$7.A68.$8-.8-.:7.9%@-..==6?I3AA3/87:$2.=:9.I6?=I-3-67.2/:99:/%+8:/863/=$.73G683G.I6?，8-.I6?:;607:25:;.J2683:/:;6A0.H76，K3/.:;=.567683:/;68:76/$8-.6A2A3I6?%8-.?6/H7:6$./8-.8-:20-8=:;I6?=8:.G6A268.8-.G6A2.:;$.8.793/6/8%@-..==6?L2=8-.A5.G.7?:/.96M.7.;.7./.%6(78&10%：$.8.793/6/8；$.73G683G.；6A2A3；;2/83:/万方数据求解行列式的方法和技巧作者：齐成辉作者单位：咸阳师范学院数学系,陕西,咸阳,721000刊名：陕西师范大学学报(自然科学版)英文刊名：JOURNALOFSHANXINORMALUNIVERSITY(NATURALSCIENCEEDITION)年，卷(期)：2003,31(z1)被引用次数：2次参考文献(3条)1.武汉教育学院高等代数19962.王萼芳高等代数19913.张禾瑞;郝(钅丙)新高等代数1990本文读者也读过(10条)1.徐胜林.孙平几类特殊行列式的求解方法[期刊论文]-高等函授学报（自然科学版）2002,15(5)2.陈黎钦.ChenLiqin关于求解行列式的几种特殊的方法[期刊论文]-福建商业高等专科学校学报2007(1)3.刘召明行列式解法的再认识[期刊论文]-科技创新导报2009(12)4.袁欣欣.YUANXin-xin一类广义Vandermonde行列式的求导计算法[期刊论文]-井冈山学院学报(自然科学版)2007,28(2)5.陈旭东非齐次差分方程解一类行列式[期刊论文]-科技信息（科学·教研）2007(26)6.周恩.ZHOUen行列式定义问的等价性及某些性质的证明[期刊论文]-河北北方学院学报（自然科学版）2005,21(4)7.王伟贤.王志伟.WangWeixian.WangZhiwei三对角逆M矩阵的判定[期刊论文]-高等学校计算数学学报2005,27(3)8.胡档.潘剑斌复杂行列式的求解方法[期刊论文]-考试周刊2008(4)9.李排昌矩阵与解线性方程组[期刊论文]-中国人民公安大学学报：自然科学版2011,17(3)10.徐望宝.陈雪波基于行列式淘汰法精确求解一般指派问题[会议论文]-2010引证文献(2条)1.刘召明行列式解法的再认识[期刊论文]-科技创新导报2009(12)2.施晓青关于行列式定义及其性质证明的改进[期刊论文]-沈阳师范大学学报（自然科学版）2008(3)本文链接：