求逆矩阵的方法

1求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵*A.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)将矩阵中某两行对换位置；(2)将某一行遍乘一个非零常数k；(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.矩阵A经过初等行变换后变为B，用AB表示，并称矩阵B与A是等价的.（下面我们把）第i行和第j行的对换变换，简记为“，”；把第i行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“k”；第j行的k倍加至第i行上的倍加变换，简记为“+k”.例如，矩阵A=321321321cccbbbaaa321321321cccaaabbb321321321cccbbbaaa321321321kckckcbbbaaa321321321cccbbbaaa321332211321ccckabkabkabaaa（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵(A,I)，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了1A.即(A,I)初等行变换(I,A1)例1设矩阵A=232311111③k①，②②+①kijiij2求逆矩阵A1.解因为[A,I]=1002320103110011111020100112200011111212510002121110001111121251001020101212701112125100102010221211001所以A1=12125102221211所求逆矩阵A1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA1进行验证.如果AA1=I成立，则A1正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[A,I]进行初等行变换的过程中，如果[A,I]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即0A，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.例2设矩阵A=116504612，问A是否可逆？解因为[A,I]=100116010504001612103172001217200016121110000121720001612[A,I]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.②+①(-1)③+①(-2)②(1/2)③+②①+③(-1)②+③(-1)①+②3（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3解矩阵方程AX=B，其中A=423532211，B=453211解[思路]如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX=B等号的两边同时左乘A1，可得A1AX=A1B，X=A1B因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出A1，然后计算A1B，求出X.因为[A,I]=100423010532001211103210012110001211115100012110013101115100127010102001115100127010102001所以A可逆，且A1=115127102X=A1B=115127102453211=429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的2k个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4设矩阵A=3244232111234取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式22212称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作rA()或秩(A).规定：零矩阵O的秩为零，即rO()=0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以rA()=2.例5设A为n阶非奇异矩阵，求rA().解由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式0A，所以A有n阶非零子式，故rA()=n.例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若rA()=n，则A必为非奇异的.因此n阶方阵A为非奇异的等价于rA()=n.称rA()=n的n阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10设A为nm矩阵，则rA()=k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A=000001040053162，B=200140531因为A的非零行有二行，而B的非零行有三行，所以A的秩等于2，B的秩等于3，即rA()=2，rB()=3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9矩阵经过初等行变换后，其秩不变.（证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.例6设矩阵5A=01422502，B=2110460235230411求rA()，rB()，rAB().解因为A=01422502②①26402502所以rA()=2因为B=2110460235230411②①③①3221104220317100411③②④②()()2151600103200317100411④③()120000103200317100411所以rB()=3因为AB=014225022110460235230411=861016242048AB=861016242048②①()25646180242048所以rAB()=2由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A,B的秩，即rAB()min{(),()}rArB.例7设矩阵A=01211024221160310030求rA()和)(Ar.解因为A=01211024221160310030(,)①④100300242211603012116②①③①()()3210030040001403001211)1()1(②④③②00000040001003001211所以rA()=3同理可得)(Ar=3由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵A的秩相等.可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11设A为mn矩阵，则(1)0rAmn()min{,}；(2)rA()=rAT()