投影仪曲面幕布投影过程推导

可行性分析2：短焦投影仪投影至柱面幕布功能罗海风2016.3.29背景简介近年来，短焦投影机逐渐成为热点，在发展中迅速获得了广大用户的喜爱。短焦投影机具有很短的透射比，即投影机到屏幕之间的距离与屏幕尺寸之比。投影领域的一大进步，投影仪从离屏幕表面几英寸开外之处即可将画面投射到大屏幕（70英寸或以上）上。在投影机前走动而挡住屏幕上画面的情况将不复存在。借助超短焦投影仪，可在任何房间，教室和会议室内观看明亮且色彩丰富的大屏幕影像。同时，近年来曲面电视技术也越来越普及。曲面电视相对于普通平面电视，具有几个明显优势：1.人眼视觉体验更舒适；2.带来更逼真的画面临场感；3.观看视角更广；4.曲面结构能在有限空间内获得更大显示面积。同样的道理，若投影仪幕布为曲面，也将获得相对于传统平面幕布而言明显的优势。因市面上尚未出现实现曲面幕布功能的短焦投影仪产品，本报告对功能实现过程进行推导，对实现该功能的可行性进行了分析。问题描述在本功能使用场景中，假定柱面幕布的大小，曲率已知，且短焦投影仪已准确放置在正确位置，即投影仪位于水平平面上，正对幕布中轴线，与幕布距离合适。示意图如下：在正常的投影工作模式下，投影仪在平面幕布上投影成像的区域为正立矩形。但是在柱面幕布上，由几何关系易得图像会产生变形，变形效果如下：下面我们将讨论如何修正投影仪投影图像，使得投影到曲面幕布上的成像不会发生变形。实现过程已知条件曲面投影仪工作状态几何关系俯视图和侧视图如下：如图所示，上左图为曲面投影仪工作俯视图。投影仪镜头位于点O，幕布所在圆弧的中心位于点O’。由于幕布是圆弧，所以在上右图侧视图中幕布有较大的厚度。在俯视图中，有max'''AOBORIOLAOB在侧视图中，有''JJHOIL图像修正过程推导（仅上沿）令点O’坐标为（0,0），K为幕布基准平面上任意一点，横坐标为x。我们需要求得为满足投影幕布上沿的变形要求，点K处投影仪投射像素需要降低的高度y=B’K。在侧视图中，由于相似性，有1'HHyLBQL在俯视图中，有'tan'''''cot2xxxQQQQOQOLBQQIQOOIQLQLx又直线OK与圆O’相交于点Q，可表示为：max222cos32LyxRLIKxyR由上述三式联立求解可得（4）式：2222maxmaxmax22222222coscoscos222111xHxHxyHHQRRLLRLLRLLLLxxxxx此即为投影仪幕布上沿偏移量x（具体定义见上文）处，投影像素需要下调的距离。投影仪幕布下沿处需要调整的距离计算方式与上述相同，只需要修改参数H即可。参数验证为进行参数验证，这里假定L=1，R=2，Wmax=60°，H=2。当x=0时，max0.423cos2xHxHLyHHQLRR当x=0.5时，y=0.297当x=1时，y=0数值范围符合预期，结果正确。图像修正过程推导（补完）上述推导为幕布上沿处图像变形处理公式。图像下沿处变形处理公式与上式形式一致。设幕布下沿处高度为H’，则下沿偏移量x（x具体定义同上）处，投影图像需要下调的距离为：2222maxmaxmax22222222''''coscoscos222111xHxHxyHHQRRLLRLLRLLLLxxxxx即式（5）。至此我们可知为适应曲面幕布，投影仪需要对原始图像进行修正的大概范围。其修正方式的示意图如下所示：对此结论进行扩展。对于投影仪播放的原始图像，设宽度为WID，高度为HEI，其中任意一点(X,Y)经过修正后所处新坐标为(X’,Y’)，坐标系采用常用图像坐标系，即坐标原点位于图像左上角。易知maxmax||2sin22||22sin2WIDXRxWIDxXWIDWIDR且Y处的偏移量按照幕布上沿处偏移量ytop和幕布下沿处偏移量ybottom线性插值计算，有式（6）max2222maxmax2maxmax222max2'2sin2'||2''coscos2212sin2sin22(||)(||)1222sin2(||)2XXRHEIYYWIDHHXHEIYYHEIHEIWIDYHHHEIHEIRRLLRLLRRWIDWIDLXXWIDWIDRWIDXWIDmax2max2max2cos22sin2||122sin2(||)2LRLRWIDLXWIDRWIDXWID此即为投影仪播放的原始图像中任意像素需要进行修正的修正量公式。实测效果按照上述推导，对图像的变形效果如下：-编码实现并在配备曲面幕布的短焦投影仪上测试，效果如下：左图为开机画面，中图为标准网格图像，右图为按照上述公式变形后的网格图像投影至曲面幕布上的效果（因参数不完全准确，所以效果还不十分完善）。小结通过上述推导及验证可以看到，当投影仪幕布参数，投影仪光学参数，投影仪与幕布几何位置参数固定时，是可以通过理论公式对投影仪图像内容进行变形，使得投射到曲面幕布上的成像内容刚好匹配幕布且无变形。======================================================================================================================算法补充修正内容罗海风2016.4.7遗留问题描述按照之前的图像变形公式，已经获得了较好的投影效果。但是推导过程只考虑到了图像y方向上的像素坐标修改，而没有考虑x方向上的修改。进一步测试发现，之前的公式推导存在疏忽，遗漏了一些影响因素，导致变形后图像投影至曲面幕布上时仍存在问题：幕布上投影图像的中心区域与两侧区域在水平方向上的压缩程度不一致。对于本该同样大小的矩形格子，投影后在幕布中心区域较宽，在幕布左右两侧区域较窄。过程分析及推导与之前讨论过程类似，我们取曲面幕布投影过程的俯视示意图进行讨论。上左图是投影仪的俯视示意图。弧线AB是幕布，点O为投影仪镜头，O’为幕布柱面中心。由于幕布半径R极大，因此近似将IK与JQ等价。设投影仪某投射光线射于点K（或Q）处，该处与幕布中心轴距离x，该光线与墙壁法线夹角为α。俯视图的局部放大如上右图所示。令光线的有无穷小夹角dα。对于投影仪本身的光路设计来说，是计划将该光线投影至KK’。但是由于幕布与墙面存在夹角β，光线投影至KK”。因为sin()'21sin()2KKKK，所以幕布上的投影图像中，两侧处图像变窄。但是这只是幕布两侧区域图像水平方向变窄的原因之一。投影仪投射出的小角度光线可以看做为一个锥体，很显然锥体的截面宽度与锥体的高成正比。因此，本应投射至点N的射线ON，因为幕布的原因只能投射至OQ，这也导致了幕布上两侧区域图像水平方向变窄。上图为投影仪工作状态俯视示意图图的具体局部放大。因为OQON，所以导致了幕布上两侧区域图像水平方向变窄，且maxcos''11cos2xRROQOJQJQJRONOJOJLRR如上所述，曲面幕布两侧区域图像水平方向变窄的原因有两部分组成，整理后可得，幕布两侧区域图像水平方向长度缩小比例k(x)为：maxmaxsin()cos2()(1)'sin()cos22sin(arctan())cos2(1)sin(arctan())cos22xRRKKOQRkxKKONLRRxxRRLRxxLRRLR自然地，需要放大的系数为1/k。因此，对于投影仪播放的原始图像，设宽度为WID，高度为HEI，其中任意一点(X,Y)经过修正后所处新坐标为(X’,Y’)，坐标系原点位于图像中轴第一行处。易知：||||00max||||sin(arctan())12'||(||)cos||(1)sin(arctan())2cos2XXXXLRXXXXkXRRXRLLRRY’坐标的公式与之前推导的式（6）一致，为：max2222maxmax2maxmax222max22sin2'||2''coscos2212sin2sin22(||)(||)1222sin2(||)2RHEIYYWIDHHXHEIYYHEIHEIWIDYHHHEIHEIRRLLRLLRRWIDWIDLXXWIDWIDRWIDXWIDmax2max2max2cos22sin2||122sin2(||)2LRLRWIDLXWIDRWIDXWID