投资地选择问题数学建模论文孙雨萌2011114102

关于投资地选择问题的论文姓名：孙雨萌学号：2011114102摘要：本文是以一道投资地选择的问题进行的数学模型的建立，该问题使用的是层次分析法进行模型建立和研究计算，并运用高等代数中特征值、特征向量的方法进行计算求解。该层次分析分为三层，包括目标层、决策层、准则层。其中准则层共有六项，根据重要性分别进行分析，最后得出结果。可以对于实际问题的选择给予一定的参考意见，但在实际问题的考虑中还要想到当地的政府政策、当地的资源等问题。关键字：层次分析法、一致性检验、最优投资地一、问题重述某投资者到某地投资，该市的选择范围主要有三个区域：A区、B区、C区。该投资者认为选择投资区域的主要影响因素为：工资水平、办公成本、市场规模、便利性等。下表为投资者搜集的关于这三个区域的相关信息。请建立适当的数学模型帮助该投资者选择决策投资区域。A区B区C区工资水平53000(元/人.年）42000(元/人.年）39000(元/人.年）商务楼租金2.5（元/平方米.天）3.0（元/平方米.天）4.0（元/平方米.天）市场规模高中中交通便捷堵塞畅通畅通与相关单位联络的便利程度高一般较高社会安全一般较高一般二、模型假设1.三个地区具备的其他条件都相同，不在考虑范围内；2.忽略每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响；3.在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会出现改变；4.三个区域投资者只能选择一个，投资方案不包括几个区域组合选择。三、问题分析对于该问题，在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，A,B,C三个投资地，受到多种因素的影响，具有层次性，因而用层次分析法来比较三种方案的优度是可行的，我们选择六个因素：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性来建立模型并检验。四、符号的定义与说明O选择投资区域B决策层C准则层A成对比较矩阵1c工资水平2c办公成品3c市场规模4c市场便利安全性5c社会安全6c单位联络便利性0w权向量特征根n矩阵的秩CI一致性指标CR一致性比率(3)iw（i=1,2...6）决策层对于准则层权向量(3)w组合权向量RI一致性指标五、模型的建立与求解一.建立层次分析结构模型目标层O：选择投资地准则层C：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性决策层B：A区，B区，C区图一：投资的选择层次图二：构造准则层对于目标层成对比矩阵假设要比较准则层4个因素1c,2c，3c，4c，5c，6c对上层一个因素选择投资区域O的影响。每次取两个因素ic和jc，用aij表示表示ic和jc表示对O的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵*=(a)ijnnA,aij0,(1)表示。由（1）给出的aij的特点,A称为正互反矩阵。显然比有iia=1。在调查情况后，我们分析得出，市场上投资者在投资区域时所考虑的用1c，2c，3c，4c，5c，6c依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性6个准则，构造C--O成对比较距阵（正互反阵）为：O1C2C3C4C5C6C1C152545454542C251121212123C45211114C45211115C45211116C4521111从矩阵上可以看出，125=2a表示工资水平1C对于办公成品2C对选择投资区域这个目标的o重要性之比为5:2；135=4a表示工资水平1C对于市场规模3C对选择投资区域这个目标O重要性之比为5:4；212=5a表示办公成品2C对于工资水平1C之比为2:5.可以看出此投资者在选择投资区域的时，最看重工资成本，其次是市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性，最后是办公成品。比较尺度：在进行定性的成对比矩阵时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如表1。表1：1-9尺度aij的含义1ic与jc的影响相同3ic与jc的影响稍强5ic与jc的影响强7ic与jc的影响明显的强9ic与jc的影响绝对的强2,4,6,8ic与jc的影响之比在上述两个相邻之间1,1/2,......1/9jc与ic的影响之比为上面个aij的互反数三：计算权向量和特征值并进行一致性检验计算权向量，对应于A最大特征根（即作）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=w（2）直观地看，应为矩阵A的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素aij，所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。我们用根法来求权向量：a.将A的每一列向量归一化得~=1=ijijnijiawa；b.对~ijw按行求和得~~1/=1=nnijijjww（）；c.将~ijw归一化~~=1=inii，w=（1w，2w，......nw)T即为近似特征向量；d.计算=1(Aw)1=niiinw，作为最大特征根的近似值。1.00002.50001.25001.25001.25001.25000.40001.00000.50000.50000.50000.50000.80002.00001.00001.00001.00001.0000列向量归一化A=0.80002.00001.00001.00001.00001.00000.80002.00001.00001.00001.00001.00000.80002.00001.00001.00001.00001.00000.21740.21740.21740.21740.21740.21740.08700.08700.08700.08700.08700.08700.17390.17390.17390.17390.17390.1739按行求和0.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17390.17391.30440.21741.31790.52200.08700.52721.04340.17391.05431.0434归一化0.1739=0wA0w=1.05431.04340.17391.05431.04340.17391.054311.31790.52721.05431.05431.05431.0543=+++++=6.062160.21740.08700.17390.17390.17390.1739（）一致性检验：成对比矩阵通常不是一致阵，但是为了你能用它的对应于特征矩阵根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内。据定理，n阶正反矩阵A的最大特征根=n;当=n时A是一致阵。根据这个定理和连续地依赖于aij的事实可知，比n大的挺多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用-n数值的大小来衡量A的不一致程度。Saaty将-=-1nCIn(3)定义为一致性指标。CI=0时A一致阵；CI越大A的不一致程度越严重。为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准。Saaty又引入所谓随机一致性指标CR。Saaty对于不同的n，用100~500个样本'A算出的随机一致性指标RI的数值如表2。表2：随机一致性指标RI的数值表中n-1,2时RI=0,是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵。对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性的指标RI之比成为一致性比率CR当0.1CICRRI（4）是认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。权向量检验：根据上面计算结果，=6.0621,按公式（3）计算，6.0621-6=0.01246-1CI,在表2中查=1.24RI按（4）式计算，0.0124==0.01000.11.24CR，一致性检验通过，上述0w可以作为权向量。四：构造决策层对准则层成对比较矩阵并计算特征值和特征向量在投资选择区域问题中我们已经得到第2层对第1层的权向量。记作2(2)(2)(2)124=(w,w.....w)Tw.用同样的方法构造第3层（决策层）对第2层(准则层)的每一个准则的成对比较阵。（1）1C对B判断矩阵：A区，B区，C区取权重如下：A区0.2834B区0.3289C区0.3877图二1CABCA10.86140.7307B1.161010.8483C1.36851.17881计算权向量(3)1w：(3)1w=(0.28330.32890.3878）T计算特征值：3.0000(2)2C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：A区0.4068B区0.3390C区0.2542图三2CABCA11.21.6003B0.833311.3336C0.62490.74991计算权向量(3)2w：(3)2w=(0.40680.33900.2542)T计算特征值：3.0000（3）3C对于B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：图四3CABCA155B1511C1511计算权向量(3)3w：(3)3w=(0.71420.14290.1429)T计算特征值：3.0000（4）4C对于B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：图五4CABCA11515B511C511计算权向量(3)4w：(3)4w=(0.09090.45450.4545)T计算特征值：3.0000(5)5C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：图六5CABCA1141B414C1141计算权向量(3)5w：(3)5w=（0.16670.66670.1667）T计算特征值：0.3000(6)6C对B判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：图七6CABCA1553B15113C3531计算权向量(3)6w：(3)6w=（0.55560.11110.3333）T计算特征值：3.0000五．C--B权向量进行一致性检验由第3层对于第2层的成对比较阵计算的权向量，最大特征值列入表3.表3：投资投资区域k123456(3)kw0.28330.32890.38780.40680.33900.25420.71420.14290.14290.09090.45450.45450.16670.66670.16670.55560.11110.3333(k)3.00003.00003.00003.00003.00003.0000（1）．1C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述(3)1w可以作为权向量。（2）．2C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述32w（）可以作为权向量。（3）．3C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述33w（）可以作为权向量。（4）．4C--B矩阵=3.00013.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述34w（）可以作为权向量。（5）．5C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述(3)5w可以作为权向量。（6）．6C--B矩阵=3.00003.0000-3=0.00003-1CIRI=0.58,0==00.10.58CR,一致性检验通过，上述36w（）可以作为权向量。六．计算组合权向量并作一致性检验（1）计算组合权向量本问题由各准则层对目标层的权向量(2)w和各方案对每一准则的权向量(3)kw（k=1,.....6）,计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作(3)w。对于方案A区，它在工资水平等6个准则中的权重用(3)kw的第1个分量表示（表2中(3