暨南大学-电气院14-15理工高数I试卷及答案

第1页共5页得分评阅人一、填空题（共10，每小题2分，共20分1.函数1()3ln5fxxx的定义域是34,5,6xx且。2.当0x时，30axa(a)是x的k阶无穷小,则k=3。3.32021coslim11xxx3424.方程eexyy所确定的隐函数在0x处的法线方程10y-ex-5.函数sin2xyx的微分y=dsin2sin22cos2lnxxxxxdxx。6.函数22,01,0xeaxfxxbxx在0x点处可导，则a,b的值为12a=,b。7.2122dxxx。8.2202xdx29.a为正常数，则2ln(1)daaxxx010．函数()3xfx在0x处余项为Peano型的Taylor展式为2323(ln3)(ln3)(ln3)1(ln3)()2!3!!()3nxnnxxxxoxnfx得分评阅人二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1．当0x时，下列函数中极限值为1的是（B）。(A)21cos3xx(B)511102xx(C)51xex(D)sin3ln15arcxx2．方程10xln+e2x正根的数量为（B）。（A）0（B）1（C）2（D）33.nxxf)(在点)1,1(处的切线与x轴交点为0,n,则)(limnnf（D）第2页共5页(A)e.(B).2e(C)e.(D)1e.4.双纽线222rcos所围图形面积=（A）(A).2.(B).4.(C).6.(D).8.5．如果2()()lim1()xafxfaxa，则（C）。(A).()fa存在且()0fa；(B).()fx在a取得极小值；(C).()fx在a取得极大值；(D).()fx在a不可导。6.设32()3fxxxx,则使(0)nf存在的最高阶数n为（C）。（A）0（B）1（C）2（D）37.下列叙述正确的是（D）。(A).若()fx在,ab内单调增且可导，则()0fx；(B).单调函数的导函数必是单调函数；(C).若()fx在0x处可导，则()fx在0x处也可导；(D).1()ln(0)fxxxx的最小值是1。8.曲线2211xxeye（D）。（A）没有渐近线；（B）仅有水平渐近线；（C）仅有铅直渐近线；（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线。9．111lim(+)12nnnnn（A）。(A).ln2(B).0(C).1(D).e10．若()1xeafxxx有无穷间断点0x及可去间断点1x，则a（D）（A）.1（B）.e（C）.0（D）.e得分评阅人三、计算题（共7小题，每小题8分，共55分）第3页共5页1.（本题6分）2220020limxtxxtttteded解：22222222222000020000220022limlimlimlimxxxxtttxtxxxxxxxtxtttttxxttttedededeedeeeded2222202000222limlimlim2122xtxxxxxxxtxxxxedeeee2.（本题6分）3tansecdxxx解：32231tansectan(sec)(sec1)secsecsec3xxxxxxxxxCddd3.（本题6分）1xsinxdxcosx解：222222222xxxsincosxxxdxxdtantandxxtanCxcos4.（本题6分）322coscosdxxx解：32222coscosdcosdsinxxxxxx00220022cos(sin)dcossindcosdcoscosdcosxxxxxxxxxx33022202224coscos333xx5.（本题6分）e1sin(ln)dxx解：eeee1111sin(ln)cos(ln)desin1cos(ln)sin(ln)dxxxxxxxx第4页共5页e1esin1ecos11sin(ln)dxx故e11sin(ln)d(esin1ecos11)2xx6.（本题10分）求曲线523333152yxx的凹凸区间和拐点。解：21143333321110,210333yxxxyxxxxxx0x处y不存在，12x处0y1,2是凸区间；1,0,0,2是凹区间；3192,1210是拐点。7.（本题15分）在区间0,π内，作曲线sinyx的一条切线，使该切线与直线=0,=xx及曲线sinyx所围图形面积最小。求（1）该图形面积；（2）切点处切线方程；（3）该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积V。解：设切点t,sint，则切线方程：coscossinyxtttt（1）所围图形面积：20=coscossinsincossin22Stxttttxdxttt2=sin,=0,222StttSttS故2t是唯一的极小值点，因而也是最小值点，最小值22S，（2）所求切线1y（3）2220sin2Vxdx┬┬得分评阅人四、证明题（两道题中任选一题，本题5分）1．设函数()fx在0,2上连续，且0lim3xfx，求证()fx在0,2上有界。第5页共5页证明：由02lim34xfx及保序性得到，存在02使0x时24fx，即0x时4fx。又()fx在,2上连续，故存在10M使2x时1fxM，取1max4,MM，则在0,2上fxM。2．设(),()fxgx在,ab上连续，且()0,gx试证至少存在一点(,)ab使()d()()()dbabafxxfggxx.证明:令()()d()d()d()dxbxbaaaaFxgxxfxxfxxgxx因(),()fxgx在[,]ab上连续，故()Fx在[,]ab上连续，(,)ab可导，且()()0,FaFb故由罗尔定理知,至少存在一点(,),ab使()0,F即()()d()()d0bbaagfxxfgxx因在[,]ab上()gx连续且不为0,从而不变号,因此()d0bagxx故所证等式成立.