曲线曲面积分(单元练习题)答案

曲线积分与曲面积分单元练习题一、填空题：1．设L为122yx上点)0,1(到)0,1(的上半弧段，则2dLs=2；2．Cdsyxz22=285，其中C是曲线tztytxsin2cos2介于0t到t一段；3．L为逆时针方向的圆周:4)3()2(22yx,则Lxdyydx8；4．设C是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则Cxdyydx1；5．第一类曲面积分dS=的面积；6．设曲面为：2222xyza，则222()xyzdS44a；7．设：2222azyx．则dSz2=434a；8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。二、计算题：1．计算Ldsy，其中L是抛物线2xy上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。解12155|)41(1214110232102xdxxx。2．计算Lxyds，其中L为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222yxyx。解2sin)cos1(0tdttxydsL3．已知平面曲线弧段L是圆422yx上从点0,2到2,0的有向弧段，试计算LxydxI.解tdttIcos2sin2cos220dttt202sincos8384．计算224(2)()LIxxydxxydy,其中L为由点(0,0)O到点(1,1)A的曲线sin2yx.解法一：由于2242,PxxyQxy，2PQxyx，所以积分与路径无关。224(2)()LIxxydxxydy112400(1)xdxydy=2315解法二：根据第二类曲线积分计算。5．利用格林公式计算Lxyxyxydd22，其中L是圆周222ayx（按逆时针方向）.解：L所围区域D：222ayx,由格林公式，可得Lxyxyxydd22=yxyyxxxyDdd))()((22=Dyxyxdd)(22=4π20022πdarrrda.6．利用格林公式计算(esin)decosdxxLIyyxyy，其中L是圆周222xya上从点(,0)a到(,0)a的上半圆有向弧段.解令esinxPyy，ecosxQy，令:0,lyaxa由格林公式知(esindecosd)xxLlIyyxyy()ddDQPxyxy2πdd2Daxy其中222:Dxya.又(esin)decosd0xxlyyxyy，所以2π(esin)decosd2xxLaIyyxyy7．Cxydyxdxyxyysin)sin(，其中C为从点)1,1(A沿抛物线2xy到原点)0,0(O，再沿直线xy到点)1,1(B。解111:1到从xyL。原式＝2)1(sin101111yyDLLCdxdydxxdxdy＝658．下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分LyxydxxdyI224，其中L为从A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲线，AC为直线：1xy，CB为直线：1xy，计算过程为：因为224yxyP,224yxxQ,xQyxxyyP22222)4(4，所以积分与路径无关，从而LyxydxxdyI224=AByxydxxdy224=0(其中AB为直线段：)11(0xy)。不正确，因为xQyxxyyP22222)4(4,要求0422yx，所以这样做是错误的。设l是从A到C'),21,0(，再到B的半椭圆周：tytxsin21,cos，则LyxydxxdyI224=lyxydxxdy224=2210dt。9．计算积分zdS，其中是上半球面222yxaz。解dxdyzzyxaIyxD222221=DDaadxdydxdyyxaayxa322222210．求222zyxdS其中是界于平面Hzz及0之间的圆柱面222Ryx.解柱面按对称面zox划分为两块，方程分别为2222xRyxRy和它们在zox面上的投影均为},0|),{(RxRHzxzDzx，且都有22221xRRyyxz于是222zyxdsdxRzR2222112dzzRdxxRHRR02222112=RHarctan211．计算22()ddIxyxy,其中是圆锥面的一部分22zxy,0x,0y,01z的下侧外表面.解2222()dd()ddxyDIxyxyxyxy，令cos,sin,01πxryr,0r22222()dd()ddxyDIxyxyxyxy13200ddrrπ812．求曲面积分222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy，其中为锥面22(0)zxyzh的外侧.解由于在xoy面上的投影区域222{(,)|}xyDxyxyh2222,xyxyzzxyxy，又取下侧，故由投影法得222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy=2222222222[()()()()()]xyDxyyxyxyxxydxyxy注意到xyD关于y轴对称，故上式第一项与第二项在xyD上的二重积分为0，于是222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy=2()xyDxyd=2220(cossin)drrrdr=414h13．计算曲面积分,)()(xdydzzydxdyyx其中为柱面122yx及平面0z，3z所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。解由于,,0,)(yxRQxzyp,0,0,zRxQzyxP利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分：xdydzzydxdyyx)()(dxdydzzy)(dzrdrdzr)sin(dzzrrdrd302010)sin(.2914．计算积分dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(其中)0(22hzyxz：的下侧。解设)(221hyxhz：的上侧,则1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=00dv(高斯公式),而1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=xyDdxdyyx)(=0,所以,I=015．计算zdxdyydzdxxdydzxy22，其中为曲面22yxz被平面1z所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的z轴正向是向上的）。解dvxyzdxdyydzdxxdydzxy)1(22221=2010122)1(dzdd=32，Ddxdyzdxdyydzdxxdydzxy221。1213I16．设为)20(222zyxz上侧，计算曲面积分zdxdydydzx2。解设)4(0:221yxz下侧，4:;20:2222yxDyxz原式Ddxdydxdydzx0)12(1138)1cos2(202020dzdd